Respuesta:
La medida del lado de la base de la pirámide es aproximadamente \(115.4 \, \text{cm}\).
Explicación paso a paso:
Para encontrar la medida del lado de la base de una pirámide de base cuadrada, dado que conocemos la altura de la pirámide y la apotema, podemos usar la relación entre estos elementos y la base de la pirámide.
**Datos:**
- Altura de la pirámide \( h = 40.5 \, \text{cm} \)
- Apotema de la pirámide (apotema de la cara triangular) \( a = 70.5 \, \text{cm} \)
La apotema es la distancia desde el vértice de la pirámide hasta el punto medio de uno de los lados de la base a lo largo de la cara triangular. Para una pirámide de base cuadrada, la apotema forma un triángulo rectángulo con la altura y la mitad del lado de la base.
**Paso 1: Usar el teorema de Pitágoras**
En el triángulo rectángulo formado por la altura \(h\), la apotema \(a\) y la mitad del lado de la base \( \frac{l}{2} \), se cumple el teorema de Pitágoras:
\[
a^2 = h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2
\]
Despejamos \( \frac{l}{2} \):
\[
\left(\frac{l}{2}\right)^2 = a^2 - h^2
\]
\[
\frac{l}{2} = \sqrt{a^2 - h^2}
\]
\[
l = 2 \sqrt{a^2 - h^2}
\]
**Paso 2: Sustituir los valores y calcular**
Sustituimos \( a = 70.5 \, \text{cm} \) y \( h = 40.5 \, \text{cm} \):
\[
\frac{l}{2} = \sqrt{70.5^2 - 40.5^2}
\]
Primero, calculemos \( 70.5^2 \) y \( 40.5^2 \):
\[
70.5^2 = 4970.25
\]
\[
40.5^2 = 1640.25
\]
\[
\frac{l}{2} = \sqrt{4970.25 - 1640.25}
\]
\[
\frac{l}{2} = \sqrt{3330}
\]
\[
\frac{l}{2} \approx 57.7 \, \text{cm}
\]
Finalmente:
\[
l = 2 \times 57.7 \approx 115.4 \, \text{cm}
\]
**Conclusión:**
La medida del lado de la base de la pirámide es aproximadamente \(115.4 \, \text{cm}\).
