Respuesta:
El determinante \(D\) de la matriz de coeficientes es \(-7\).
Explicación paso a paso:
Para aplicar la regla de Cramer y calcular el determinante de la matriz de coeficientes, primero necesitamos expresar el sistema de ecuaciones en la forma estándar. Vamos a hacerlo con el sistema que proporcionaste:
**Sistema de ecuaciones:**
1. \(-x + y + 27 = -4\)
2. \(-x - 5y + z = 3\)
3. \(x - 2y - z = 0\)
Primero, reescribamos el sistema en la forma \( Ax = B \):
1. \(-x + y + 27 = -4 \rightarrow -x + y = -4 - 27 \rightarrow -x + y = -31\)
2. \(-x - 5y + z = 3\)
3. \(x - 2y - z = 0\)
**Sistema de ecuaciones en forma matricial:**
\[
\begin{cases}
-x + y + 0z = -31 \\
-x - 5y + z = 3 \\
x - 2y - z = 0
\end{cases}
\]
**Matriz de coeficientes:**
\[
A = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
-1 & -5 & 1 \\
1 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\]
Para encontrar el determinante \(D\) de la matriz de coeficientes, utilizamos la fórmula para el determinante de una matriz 3x3:
\[
D = \begin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
-1 & -5 & 1 \\
1 & -2 & -1
\end{vmatrix}
\]
**Cálculo del determinante:**
\[
D = -1 \begin{vmatrix}
-5 & 1 \\
-2 & -1
\end{vmatrix}
- 1 \begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{vmatrix}
+ 0 \begin{vmatrix}
-1 & -5 \\
1 & -2
\end{vmatrix}
\]
**Calculamos los determinantes 2x2:**
\[
\begin{vmatrix}
-5 & 1 \\
-2 & -1
\end{vmatrix} = (-5 \cdot -1) - (1 \cdot -2) = 5 + 2 = 7
\]
\[
\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{vmatrix} = (-1 \cdot -1) - (1 \cdot 1) = 1 - 1 = 0
\]
**Sustituimos en la fórmula:**
\[
D = -1 \cdot 7 - 1 \cdot 0 + 0 = -7
\]
**Resultado:**
El determinante \(D\) de la matriz de coeficientes es \(-7\).
