Respuesta:
Empecemos por entender qué es el área sombreada.
Básico
Definición:
- Área: Es la medida de la superficie de una figura. Se mide en unidades cuadradas (por ejemplo, cm², m²).
- Área sombreada: Es la porción de una figura que está resaltada o destacada para indicar que se debe calcular su área.
Ejemplo simple:
- Rectángulo: Si tienes un rectángulo de 4 cm de ancho y 6 cm de largo, el área total sería [tex]4cm * 6cm=24cm^{2} .[/tex]
- Área sombreada: Si se sombrea una parte del rectángulo, digamos un pequeño rectángulo de 2 cm por 3 cm en una esquina, el área sombreada sería [tex]2cm * 3cm=6cm^{2} .[/tex]
Intermedio
Áreas de figuras combinadas:
- Figuras compuestas: A veces, la figura sombreada puede estar compuesta por más de una forma geométrica básica.
- Ejemplo: Si una figura está formada por un rectángulo y un triángulo, calcular el área sombreada implica encontrar el área de cada componente y luego sumarlas o restarlas según corresponda.
Restar áreas:
- Ejemplo: Si tienes un círculo grande con un círculo pequeño dentro de él y quieres hallar el área sombreada entre ambos, calculas el área del círculo grande y le restas el área del círculo pequeño.
- Fórmula: Área sombreada = Área del círculo grande - Área del círculo pequeño.
Avanzado
Aplicación de integrales:
- Integrales: En matemáticas avanzadas, especialmente en cálculo, se utilizan las integrales para encontrar áreas sombreadas bajo curvas.
- Ejemplo: Para encontrar el área bajo la curva [tex]y=f(x)[/tex] desde [tex]x=a[/tex] hasta [tex]x=b[/tex], se utiliza la integral definida ∫[tex]^{a}b[/tex][tex]f(x)dx[/tex].
Área entre curvas:
- Dos curvas: Si tienes dos funciones [tex]y=f(x) y = ( ) y=g(x)[/tex] y quieres encontrar el área entre ellas desde [tex]x=a[/tex] hasta [tex]x=b[/tex], calculas ∫[tex]^{a}b[/tex] [tex](f(x)−g(x))dx[/tex].
- Ejemplo: Si [tex]f(x)=x 2 y ()=g(x)=x[/tex], y queremos el área entre estas curvas desde [tex]x=0[/tex] hasta [tex]x=1[/tex], se calcula ∫ [tex]0^{1}[/tex][tex](x2-x)dx[/tex]
Ejemplo Avanzado con Integrales:
Digamos que tenemos que encontrar el área sombreada entre las funciones [tex]y=x^{2}[/tex] y [tex]y=x+2[/tex] desde [tex]x=-1[/tex] hasta [tex]x=1.[/tex]
1. Encuentra los puntos de intersección:
[tex]x^{2} =x+2[/tex]
[tex]x^{2} -x-2=0[/tex]
Factoriza para encontrar los puntos de intersección:
[tex](x-2)(x+1)=0[/tex]
Así, [tex]x=2[/tex] y [tex]x=-1.[/tex]
2. Configura la integral:
∫[tex]-1^{1}[/tex][tex](x+2-x^{2} )dx[/tex]
3. Resuelve la integral:
∫[tex]-1^{1}[/tex][tex](x+2-x^{2} )dx=[/tex][tex]\left[\begin{array}{ccc}\frac{x}2^{2} {+2x-\frac{x}3^{3} {} } } \end{array}\right] -1^{1}[/tex]
4. Calcula el valor:
Para [tex]x=1:[/tex]
[tex](\frac{1^{2} }{2} +2(1)-\frac{1^{3} }{3})=(\frac{1}{2} +2-\frac{1}{3} =(\frac{3}{6}+\frac{12}{6}-\frac{2}{6} )=\frac{13}{6}[/tex]
Para [tex]=-1x=-1:[/tex]
[tex](\frac{(-1)^{2} } {2} +2(-1)-\frac{(-1)^{3} } {3})=(\frac{1}{2} -2+\frac{1}{3})=(\frac{3}{6}-\frac{12}{6} +\frac{2}{6} )=-\frac{7}{6}[/tex]
Resta los valores:
[tex](\frac{13}{6} -(-\frac{7}{6} ))=\frac{13}{6} +\frac{7}{6} =\frac{20}{6} =\frac{10}{3}[/tex]
R: El área sombreada entre [tex]x=-1[/tex] y [tex] = 1 x=1[/tex] es [tex]\frac{10}{3}[/tex] unidades cuadradas.
