La longitud del lado c es de 7.33 unidades
Siendo correcta la opción D
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Se tiene un triángulo no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de dos de sus lados -con magnitudes de 8.26 unidades y 6.75 unidades- a los que llamamos a y b respectivamente, y el valor de uno de sus ángulos -de 57.4°, el cual es el ángulo comprendido entre los lados a y b -al que llamamos C
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\bold{a = 8.26 \ u}[/tex]
[tex]\bold{b = 6.75 \ u}[/tex]
[tex]\bold{C = 57.4^o}[/tex]
Donde se pide determinar la medida del lado c del triángulo
Para determinar la longitud del lado faltante c vamos a aplicar el teorema del coseno
Ver gráfico adjunto
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Determinamos la longitud del lado faltante c (AB)
Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la magnitud del lado faltante
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =( 8.26 \ u)^{2} + (6.75 \ u)^{2} - 2 \cdot 8.26 \ u \cdot 6.75 \ u \cdot cos(57.4^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =68.2276 \ u^{2} +45.5625 \ u^{2} - 111.51 \ u^{2} \cdot cos(57.4^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =113.7901 \ u^{2} - 111.51 \ u^{2} \cdot cos(57.4^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =113.7901 \ u^{2} - 111.51 \ u^{2} \cdot 0.538770785007 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 113.7901 \ u^{2} -60.07833023613057 \ u^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c^{2} =53.71176976386943 \ u^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 53.71176976386943 \ u^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 53.71176976386943 \ u^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c \approx 7.3288 \ u }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 7.33 \ unidades}}[/tex]
El lado faltante c (AB) tiene una longitud de aproximadamente 7.33 unidades
Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
