Respuesta :
Para determinar cuál opción de crédito es la más económica, debemos convertir todas las tasas a una tasa efectiva anual (TEA) para poder compararlas de manera justa. A continuación, se realiza la conversión de cada tasa:
### Opción a) 20% nominal liquidada continuamente
La fórmula para convertir una tasa nominal continua a una tasa efectiva anual es:
\[ \text{TEA} = e^{r} - 1 \]
donde \( r \) es la tasa nominal continua.
\[ \text{TEA}_a = e^{0.20} - 1 \approx 0.2214 \text{ o } 22.14\% \]
### Opción b) 18.82% efectiva anual, pago a mes vencido
Esta tasa ya está en formato TEA:
\[ \text{TEA}_b = 18.82\% \]
### Opción c) 28% nominal, liquidado trimestre anticipado
Para convertir una tasa nominal trimestral anticipada a una TEA, primero se debe encontrar la tasa efectiva trimestral anticipada (\( i_{\text{t}}\)) y luego convertirla a una TEA:
La relación entre la tasa nominal trimestral anticipada (\( r_{\text{nom, q}} \)) y la tasa efectiva trimestral anticipada (\( i_{\text{t}}\)) es:
\[ i_{\text{t}} = \left(1 + \frac{r_{\text{nom, q}}}{4}\right)^{-1} - 1 \]
Dado que la tasa nominal es 28% anual, trimestralmente es 7%:
\[ r_{\text{nom, q}} = 0.28 \]
\[ i_{\text{t}} = \left(1 + \frac{0.28}{4}\right)^{-1} - 1 = \left(1 + 0.07\right)^{-1} - 1 \approx 0.06542 \text{ o } 6.542\% \]
Ahora convertimos esta tasa trimestral a una TEA:
\[ \text{TEA}_c = (1 + i_{\text{t}})^{4} - 1 \]
\[ \text{TEA}_c = (1 + 0.06542)^{4} - 1 \approx 0.2745 \text{ o } 27.45\% \]
### Opción d) DTF + 9% liquidado trimestre anticipado
Para esta opción, se requiere conocer el valor actual de la DTF (Depósito a Término Fijo). Supongamos que la DTF actual es 6%.
Entonces, la tasa nominal anual sería:
\[ r_{\text{nom, q}} = \text{DTF} + 9\% = 6\% + 9\% = 15\% \]
Esta tasa se liquida trimestral anticipado, así que seguimos el mismo procedimiento que en la opción c:
Trimestralmente es 3.75%:
\[ r_{\text{nom, q}} = 0.15 \]
\[ i_{\text{t}} = \left(1 + \frac{0.15}{4}\right)^{-1} - 1 = \left(1 + 0.0375\right)^{-1} - 1 \approx 0.03614 \text{ o } 3.614\% \]
Ahora convertimos esta tasa trimestral a una TEA:
\[ \text{TEA}_d = (1 + i_{\text{t}})^{4} - 1 \]
\[ \text{TEA}_d = (1 + 0.03614)^{4} - 1 \approx 0.1482 \text{ o } 14.82\% \]
### Comparación de las TEAs
- **Opción a**: 22.14%
- **Opción b**: 18.82%
- **Opción c**: 27.45%
- **Opción d**: 14.82%
### Conclusión
La opción d) es la más económica con una TEA de 14.82%, suponiendo que la DTF es 6%. Por lo tanto, seleccionaría la opción d) ya que ofrece la menor tasa efectiva anual.
### Opción a) 20% nominal liquidada continuamente
La fórmula para convertir una tasa nominal continua a una tasa efectiva anual es:
\[ \text{TEA} = e^{r} - 1 \]
donde \( r \) es la tasa nominal continua.
\[ \text{TEA}_a = e^{0.20} - 1 \approx 0.2214 \text{ o } 22.14\% \]
### Opción b) 18.82% efectiva anual, pago a mes vencido
Esta tasa ya está en formato TEA:
\[ \text{TEA}_b = 18.82\% \]
### Opción c) 28% nominal, liquidado trimestre anticipado
Para convertir una tasa nominal trimestral anticipada a una TEA, primero se debe encontrar la tasa efectiva trimestral anticipada (\( i_{\text{t}}\)) y luego convertirla a una TEA:
La relación entre la tasa nominal trimestral anticipada (\( r_{\text{nom, q}} \)) y la tasa efectiva trimestral anticipada (\( i_{\text{t}}\)) es:
\[ i_{\text{t}} = \left(1 + \frac{r_{\text{nom, q}}}{4}\right)^{-1} - 1 \]
Dado que la tasa nominal es 28% anual, trimestralmente es 7%:
\[ r_{\text{nom, q}} = 0.28 \]
\[ i_{\text{t}} = \left(1 + \frac{0.28}{4}\right)^{-1} - 1 = \left(1 + 0.07\right)^{-1} - 1 \approx 0.06542 \text{ o } 6.542\% \]
Ahora convertimos esta tasa trimestral a una TEA:
\[ \text{TEA}_c = (1 + i_{\text{t}})^{4} - 1 \]
\[ \text{TEA}_c = (1 + 0.06542)^{4} - 1 \approx 0.2745 \text{ o } 27.45\% \]
### Opción d) DTF + 9% liquidado trimestre anticipado
Para esta opción, se requiere conocer el valor actual de la DTF (Depósito a Término Fijo). Supongamos que la DTF actual es 6%.
Entonces, la tasa nominal anual sería:
\[ r_{\text{nom, q}} = \text{DTF} + 9\% = 6\% + 9\% = 15\% \]
Esta tasa se liquida trimestral anticipado, así que seguimos el mismo procedimiento que en la opción c:
Trimestralmente es 3.75%:
\[ r_{\text{nom, q}} = 0.15 \]
\[ i_{\text{t}} = \left(1 + \frac{0.15}{4}\right)^{-1} - 1 = \left(1 + 0.0375\right)^{-1} - 1 \approx 0.03614 \text{ o } 3.614\% \]
Ahora convertimos esta tasa trimestral a una TEA:
\[ \text{TEA}_d = (1 + i_{\text{t}})^{4} - 1 \]
\[ \text{TEA}_d = (1 + 0.03614)^{4} - 1 \approx 0.1482 \text{ o } 14.82\% \]
### Comparación de las TEAs
- **Opción a**: 22.14%
- **Opción b**: 18.82%
- **Opción c**: 27.45%
- **Opción d**: 14.82%
### Conclusión
La opción d) es la más económica con una TEA de 14.82%, suponiendo que la DTF es 6%. Por lo tanto, seleccionaría la opción d) ya que ofrece la menor tasa efectiva anual.