Respuesta:
espero te sirva
Explicación paso a paso:
Solución:
Paso 1: Calcular el lado del cuadrado inscrito en la arandela de radio mayor.
El área del cuadrado inscrito en una circunferencia es igual al cuadrado del radio de la circunferencia multiplicado por π/4. En este caso, el área es de 32 unidades cuadradas, por lo que:
Lado del cuadrado = √(Área del cuadrado / π/4) = √(32 / π/4) = 4 √π
Paso 2: Encontrar la relación entre los radios de las arandelas consecutivas.
Sea r el radio de la arandela más pequeña. La diferencia entre los radios de dos arandelas consecutivas es y, por lo que el radio de la siguiente arandela es r + y.
El lado del cuadrado inscrito en la arandela de radio r + y es igual a:
Lado del cuadrado = 4 √π(r + y)
Paso 3: Igualar las expresiones para el lado del cuadrado.
Iguale las expresiones para el lado del cuadrado obtenidas en los pasos 1 y 2:
4 √π = 4 √π(r + y)
Paso 4: Despejar r.
Dividiendo ambos lados por 4 √π, obtenemos:
1 = r + y
Restando y de ambos lados, obtenemos:
r = 1 - y
Paso 5: Calcular el área de la arandela más pequeña.
El área de una arandela es la diferencia entre las áreas de dos círculos concéntricos. En este caso, el área de la arandela más pequeña es la diferencia entre el área del círculo de radio r y el área del círculo de radio r - y.
Área de la arandela = πr² - π(r - y)²
Sustituyendo r = 1 - y, obtenemos:
Área de la arandela = π(1 - y)² - π(1 - y - y)²
Desarrollando los cuadrados y simplificando, obtenemos:
Área de la arandela = 2πy² - 3πy + π
Paso 6: Sustituir el valor de y y calcular el área.
Sabemos que y es la diferencia entre los radios de dos arandelas consecutivas, y que el área del cuadrado inscrito en la arandela de radio mayor es de 32 unidades cuadradas. Sustituyendo estos valores en la expresión para el área de la arandela más pequeña, obtenemos:
Área de la arandela = 2πy² - 3πy + π
Área de la arandela = 2π(4 √π)² - 3π(4 √π) + π
Área de la arandela = 32π - 12π + π = 21π
Respuesta: El área de la arandela más pequeña es de 21π unidades cuadradas.
