Respuesta :
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Para analizar la función \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \), sigamos estos pasos:
### 1. Dominio
El dominio de una función racional está determinado por los valores de \( x \) para los cuales el denominador no es cero.
Para la función \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \):
- El denominador es \( x - 1 \).
- El denominador no debe ser igual a cero: \( x - 1 \neq 0 \).
Por lo tanto, \( x \neq 1 \).
**Dominio:** Todos los valores de \( x \) excepto \( x = 1 \). En notación de intervalos, el dominio es \( (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \).
### 2. Rango
Para encontrar el rango, resolvemos para \( x \) en términos de \( y \). Empezamos con:
\[ y = \frac{2x + 3}{x - 1} \]
Multiplicamos ambos lados por \( x - 1 \) para despejar \( x \):
\[ y(x - 1) = 2x + 3 \]
Distribuimos \( y \):
\[ yx - y = 2x + 3 \]
Reorganizamos para agrupar los términos con \( x \):
\[ yx - 2x = y + 3 \]
Factorizamos \( x \):
\[ x(y - 2) = y + 3 \]
Despejamos \( x \):
\[ x = \frac{y + 3}{y - 2} \]
Para que \( x \) sea válido, el denominador \( y - 2 \) no debe ser cero:
\[ y - 2 \neq 0 \]
Por lo tanto, \( y \neq 2 \).
**Rango:** Todos los valores de \( y \) excepto \( y = 2 \). En notación de intervalos, el rango es \( (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \).
### 3. Graficar
Para graficar la función, observa las siguientes características:
- La función tiene una **asíntota vertical** en \( x = 1 \) porque el denominador se vuelve cero.
- La función tiene una **asíntota horizontal** en \( y = 2 \), ya que a medida que \( x \to \infty \) o \( x \to -\infty \), \( \frac{2x + 3}{x - 1} \to 2 \).
Puedes utilizar una herramienta de gráficos en línea o software de matemáticas para dibujar la gráfica de la función \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \). La gráfica mostrará la asíntota vertical en \( x = 1 \) y la asíntota horizontal en \( y = 2 \). coronita porfa