Respuesta:
Para resolver la ecuación \sin(4x) = \cos(x + 10^\circ)sin(4x)=cos(x+10
∘
), vamos a utilizar las identidades trigonométricas y algunas propiedades básicas de los ángulos.
Identidades trigonométricas:
\sin(4x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)sin(4x)=cos(
2
π
−4x)
\cos(x + 10^\circ) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - (x + 10^\circ)\right)cos(x+10
∘
)=sin(
2
π
−(x+10
∘
))
Equivalencia de las funciones:
Dado que \sin(4x) = \cos(x + 10^\circ)sin(4x)=cos(x+10
∘
), entonces 4x = \frac{\pi}{2} - (x + 10^\circ)4x=
2
π
−(x+10
∘
).
Resolvemos la ecuación:
4x = \frac{\pi}{2} - x - 10^\circ4x=
2
π
−x−10
∘
Sumamos xx a ambos lados:
5x = \frac{\pi}{2} - 10^\circ5x=
2
π
−10
∘
Dividimos ambos lados por 5 para despejar xx:
x = \frac{\frac{\pi}{2} - 10^\circ}{5}x=
5
2
π
−10
∘
Calculamos xx:
Convertimos 10^\circ10
∘
a radianes: 10^\circ = \frac{\pi}{18}10
∘
=
18
π
radianes.
Entonces,
x = \frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18}}{5}x=
5
2
π
−
18
π
x = \frac{\frac{9\pi}{18} - \frac{\pi}{18}}{5}x=
5
18
9π
−
18
π
x = \frac{\frac{8\pi}{18}}{5}x=
5
18
8π
x = \frac{8\pi}{90}x=
90
8π
x = \frac{4\pi}{45}x=
45
4π
Respuesta final:
x = \frac{4\pi}{45}x=
45
4π
Por lo tanto, el valor de xx que satisface la ecuación \sin(4x) = \cos(x + 10^\circ)sin(4x)=cos(x+10
∘
) es \frac{4\pi}{45}
45
4π
Fin. Espero a verte ayudado.
