Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- y que pasa por el punto P(-1,2) está dada por:
Expresada en la Forma Explícita:
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{2}{7} x +\frac{16}{7} }}[/tex]
Expresada en la Forma General:
[tex]\large\boxed {\bold { 2x- 7y +16= 0 }}[/tex]
Debemos primero hallar la pendiente de la recta L1 que pasa por A(0,3) y B(2,-4)
Donde denotamos a la pendiente de la recta L1 que pasa por estos puntos como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta L1 que pasa por los puntos A (0,3) y B (2,-4)
[tex]\bold { A\ (0,3) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( 2,-4) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente de la recta L1
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { m_{1} = \frac{ - 4 - (3) }{2 - (0) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{-4-3 }{2-0 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ -7 }{2 } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 7 }{2 } }}[/tex]
La pendiente de L1 es igual a -7/2
Determinamos la pendiente de una recta perpendicular
Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo
En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ -\frac{7}{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- 1 \cdot -\frac{2}{7} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = \frac{2}{7} }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta perpendicular a la recta L1 debe tener una pendiente cuyo valor será m = 2/7
Hallamos la recta L2 -perpendicular a la recta L1- que pasa por el punto P(-1,2)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (-1,2) tomaremos x1 = -1 e y1 = 2
Dado que la recta debe ser perpendicular a la dada su pendiente m será igual a 2/7 [tex]\bold{m_{2} = \frac{2}{7} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{2}{7} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold {P\ (-1,2) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (2) = \frac{2}{7} \cdot (x - (-1) )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-2 = \frac{2}{7} \cdot (x+1 )}}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1 -que pasa por el punto P(-1,2) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y-2 = \frac{2}{7} \cdot (x+1 )}}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y -2 = \frac{2}{7} x + \frac{2}{7} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{2}{7} x + \frac{2}{7}+2 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{2}{7} x + \frac{2}{7}+2 \cdot \frac{7}{7} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{2}{7} x + \frac{2}{7}+\frac{14}{7} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{2}{7} x +\frac{16}{7} }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 -perpendicular a L1- y que pasa por el punto P(-1,2) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{2}{7} x +\frac{16}{7} }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{7} x + \frac{16}{7} -y=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{7} x -y +\frac{16}{7} = 0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 7
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{7} x\cdot 7 -y\cdot 7 +\frac{16}{7} \cdot 7 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{\not7} x\cdot\not 7 -y\cdot 7 +\frac{16}{\not7} \cdot \not 7 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 2x- 7y +16= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas perpendiculares
Se agrega gráfico solicitado como archivo adjunto
