Respuesta :
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Para resolver el problema, vamos a seguir estos pasos:
1. **Convertir las unidades para que sean consistentes**.
2. **Calcular el área de la sección transversal de la barra**.
3. **Calcular el esfuerzo en la barra (esfuerzo axial)**.
4. **Determinar el tipo de esfuerzo al que está sometida la barra**.
5. **Analizar el pandeo**.
### Paso 1: Convertir las unidades
Dado:
- Altura de la barra: 18 pulgadas.
- Diámetro de la barra: 0.15 pies.
- Fuerza aplicada: 500 lb.
Primero, convertimos el diámetro de la barra a pulgadas:
\[ 0.15 \, \text{pies} \times 12 \, \text{pulgadas/pie} = 1.8 \, \text{pulgadas} \]
### Paso 2: Calcular el área de la sección transversal
El área de la sección transversal de una barra circular se calcula con la fórmula:
\[ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \]
Donde \(d\) es el diámetro. Sustituyendo:
\[ A = \pi \left(\frac{1.8 \, \text{pulgadas}}{2}\right)^2 = \pi \left(0.9 \, \text{pulgadas}\right)^2 \]
\[ A = \pi \times 0.81 \, \text{pulgadas}^2 \]
\[ A \approx 3.1416 \times 0.81 \]
\[ A \approx 2.55 \, \text{pulgadas}^2 \]
### Paso 3: Calcular el esfuerzo en la barra
El esfuerzo (\(\sigma\)) se calcula como la fuerza (\(F\)) dividida por el área (\(A\)):
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Sustituyendo los valores:
\[ \sigma = \frac{500 \, \text{lb}}{2.55 \, \text{pulgadas}^2} \]
\[ \sigma \approx 196.08 \, \text{lb/pulgadas}^2 \]
### Paso 4: Determinar el tipo de esfuerzo
El esfuerzo calculado es un esfuerzo axial de compresión debido a la fuerza aplicada en la dirección de la longitud de la barra.
### Paso 5: Análisis de pandeo
Para determinar si la barra producirá pandeo, usamos la fórmula de pandeo de Euler para columnas con un extremo empotrado y el otro libre (caso más crítico):
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2} \]
Donde:
- \(P_{cr}\) es la carga crítica para el pandeo.
- \(E\) es el módulo de elasticidad del material (suponiendo acero: \(E \approx 29000 \, \text{ksi}\)).
- \(I\) es el momento de inercia de la sección transversal.
- \(K\) es el factor de longitud efectiva (para un extremo empotrado y otro libre, \(K = 2\)).
- \(L\) es la longitud de la barra (18 pulgadas).
Primero, calculamos el momento de inercia \(I\) para una sección circular:
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
\[ I = \frac{\pi (1.8 \, \text{pulgadas})^4}{64} \]
\[ I = \frac{\pi (10.4976 \, \text{pulgadas}^4)}{64} \]
\[ I \approx 0.164 \, \text{pulgadas}^4 \]
Ahora, calculamos \(P_{cr}\):
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 (29000 \, \text{ksi}) (0.164 \, \text{pulgadas}^4)}{(2 \times 18 \, \text{pulgadas})^2} \]
\[ P_{cr} = \frac{3.1416^2 \times 29000 \times 0.164}{(36)^2} \]
\[ P_{cr} \approx \frac{89854.72}{1296} \]
\[ P_{cr} \approx 69.31 \, \text{kip} \]
\[ P_{cr} \approx 69310 \, \text{lb} \]
### Respuestas:
a) **El esfuerzo en la barra es**: \( \sigma \approx 196.08 \, \text{lb/pulgadas}^2 \).
b) **La barra está sometida a un esfuerzo de compresión**.
c) **¿Produce pandeo la barra?**
No, porque la carga crítica para el pandeo (69,310 lb) es mucho mayor que la carga aplicada (500 lb). Por lo tanto, la barra no producirá pandeo bajo la carga dada.
Explicación paso a paso: