Respuesta :
Para convertir el número decimal periódico [tex]\( 0.895895895\ldots \)[/tex] a una fracción, podemos seguir estos pasos:
1. Llamemos [tex]\( x \)[/tex] al número decimal periódico:
[tex]\[ x = 0.895895895\ldots \][/tex]
2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por [tex]\( 10^3 = 1000 \)[/tex] (debido a que el periodo tiene tres dígitos):
[tex]\[ 1000x = 895.895895895\ldots \][/tex]
3. Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar la parte decimal periódica:
[tex]\[ 1000x - x = 895.895895895\ldots - 0.895895895\ldots \][/tex]
[tex]\[ 999x = 895 \][/tex]
4. Ahora, despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{895}{999} \][/tex]
5. Simplificamos la fracción. Para ello, encontramos el máximo común divisor (MCD) de 895 y 999:
- Los factores primos de 895 son: [tex]\( 895 = 5 \times 179 \)[/tex]
- Los factores primos de 999 son: [tex]\( 999 = 3^3 \times 37 \)[/tex]
El máximo común divisor (MCD) de 895 y 999 es 1, lo que significa que la fracción ya está en su forma simplificada.
Por lo tanto, la fracción simplificada de [tex]\( 0.895895895\ldots \)[/tex] es: