Respuesta:
Resolviendo el Sistema de Ecuaciones Cuadráticas
Entendiendo el Problema
Tenemos un sistema de dos ecuaciones cuadráticas:
$\begin{cases}
2x^2 + 5x - 3 = 0 \
6x^2 - 5x + 1 = 0
\end{cases}$
Se nos pide encontrar los valores de x que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
Método de Resolución: Sustitución (No aplicable en este caso)
Normalmente, en sistemas de ecuaciones, podríamos despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra. Sin embargo, en este caso, ambas ecuaciones son cuadráticas y no hay una manera sencilla de despejar x de forma directa en ninguna de ellas.
Método de Resolución: Igualación
Dado que ambas ecuaciones están igualadas a cero, podemos igualar los lados izquierdos:
$2x^2 + 5x - 3 = 6x^2 - 5x + 1$
Resolviendo la Ecuación Resultante
Simplificamos la ecuación:
$0 = 4x^2 - 10x + 4$
Dividimos toda la ecuación entre 2 para simplificar:
$0 = 2x^2 - 5x + 2$
Factorizamos la ecuación cuadrática:
$0 = (2x - 1)(x - 2)$
Soluciones
Igualamos cada factor a cero y resolvemos para x:
* Para 2x - 1 = 0:
* x = 1/2
* Para x - 2 = 0:
* x = 2
Verificando las Soluciones
Sustituimos cada valor de x en las ecuaciones originales para asegurarnos de que sean soluciones válidas. Ambas soluciones, x = 1/2 y x = 2, satisfacen ambas ecuaciones originales.
Respuesta Final
Las soluciones del sistema de ecuaciones son:
x = 1/2 y x = 2
Esto significa que los puntos (1/2, f(1/2)) y (2, f(2)) son los puntos de intersección de las gráficas de las dos funciones cuadráticas.
Nota: Si se te pide encontrar los puntos de intersección completos (x,y), puedes sustituir los valores de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar los valores correspondientes de y.
En resumen, hemos resuelto el sistema de ecuaciones cuadráticas mediante la igualación y la factorización, encontrando dos soluciones distintas para x
