Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura del edificio junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC que equivale a una porción de la altura del edificio y llamamos a esa altura "x" la cual es una preincógnita, -siendo el cateto opuesto al ángulo dado-, el lado AB representa la línea visual desde el punto donde se encuentran los ojos del observador hasta la cima del edificio; la cual es vista con un ángulo de elevación de 60° y finalmente el lado BC que es una proyección del plano del suelo -donde esta distancia coincide con el punto desde donde se encuentra el observador hasta la base del edificio-
Luego debemos dividir a la altura h del edificio en dos partes: la altura "x", -la cual se encuentra por encima de los ojos del observador y del plano del suelo- de la cual desconocemos su magnitud y la longitud que coincide con la estatura de la persona observadora
Conocemos la distancia desde el observador hasta la base del edificio y de un ángulo de elevación de 60°
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia horizontal desde el observador hasta la base del edificio- y conocemos un ángulo de elevación de 60° y debemos hallar la altura "x" -porción de la altura del edificio-, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{ \alpha = 60^o }[/tex]
Planteamos:
[tex]\boxed { \bold { tan (60^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (60^o) = \frac{altura \ x }{ distancia \ a \ base \ edificio } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { altura \ x = distancia \ a \ base \ edificio \cdot tan (60^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {altura \ x = 30 \ m \cdot tan (60^o) }}[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold { \sqrt{3} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold {altura \ x = 30 \ m \cdot \sqrt{3} }}[/tex]
[tex]\textsf{Expresado en Forma Exacta: }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura \ x = 30\sqrt{3} \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Expresado de manera decimal: }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura \ x \approx 51.96 \ metros } }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h)= altura \ x +estatura \ persona}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h) = 51.96 \ m+ 1.70 \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h) = 53.66 \ metros }}[/tex]
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
