La altura h del árbol es de aproximadamente 39.25 pies
Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:
Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos: el SPQ, el SPR y el SRQ, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo
En donde para el triángulo rectángulo SPQ el lado SQ equivale a la distancia hasta la parte superior del árbol desde el pie de la colina -la que se observa con un ángulo de elevación al sol de 48°-, el lado PQ representa la distancia desde el suelo hasta el extremo superior del árbol y el lado PS es el plano horizontal donde se asienta la base de la colina
Donde este triángulo rectángulo contiene a dos triángulos:
El SPR y el SRQ siendo el primero rectángulo y el segundo obtusángulo
Donde el triángulo rectángulo SPR representa a la colina -donde se ubica el árbol- la cual tiene un ángulo de inclinación de 30°-respecto a la horizontal- y donde conocemos la dimensión del lado SR la cual es la longitud de la sombra proyectada por el árbol - colina abajo- de 85 pies
Dado que lo que se pide hallar es la altura h (QR) del árbol y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ para la resolución del ejercicio
Donde para este triángulo SRQ conocemos el valor del lado SR que es la longitud de la sombra proyectada por el árbol -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo rectángulo SPR que representa a la colina- con un valor de 85 pies y se tiene el lado SQ que es la distancia desde el pie de la colina en S hasta la cima del árbol. Y finalmente el lado QR que es la altura del árbol y nuestra incógnita
Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ
Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-
Teorema del Seno:
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SRQ
Hallamos el valor del ángulo interno en S al que denotamos como α
Restando del ángulo de elevación al sol de 48° el ángulo de inclinación de la colina de 30°:
Teniendo:
[tex]\boxed {\bold { \alpha =48^o -30^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { \alpha = 18^o}}[/tex]
Hallamos el valor del ángulo interno en Q al que denotamos como γ
El valor de este ángulo resulta ser el mismo que para el triángulo rectángulo SPQ
Consideramos luego un ángulo recto de 90° y el ángulo de elevación al sol de 48°
Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 48^o+ \gamma}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 90^o- 48^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\gamma= 42^o }}[/tex]
No siendo necesario para la resolución del ejercicio hallar el valor del tercer ángulo de este triángulo
Calculamos la altura h del árbol (QR) empleando el teorema del seno
[tex]\bold{\overline {QR} = h = Altura \ Del \ Arbol }[/tex]
[tex]\bold{\overline {SR} =Sombra \ Del \ Arbol = 85 \ pies }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{\overline{QR} \ h}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SR} }{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR}\ h }{ sen(18 ^o ) } = \frac{ \overline{SR} }{sen(42^o ) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR} \ h }{ sen(18 ^o ) } = \frac{ 85 \ pies }{sen(42^o ) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 85 \ pies \cdot sen(18^o ) }{sen(42^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 85 \ pies \cdot 0.7309016994375 }{ 0.669130606359 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 26.266444521875 }{ 0.669130606359 }\ pies }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \overline{QR} \ h \approx 39.254585 \ pies }}[/tex]
[tex]\textsf{ Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \overline{QR}\ h \approx 39.25\ pies }}[/tex]
La altura h (QR) del árbol es de aproximadamente 39.25 pies
Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
