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Para resolver este problema de optimización, sigamos estos pasos:
1. **Definiciones y Variables**:
- Sea \( x \) el ancho de la página en pulgadas.
- Sea \( y \) la altura de la página en pulgadas.
- El área de impresión es 24 pulgadas cuadradas, por lo que \( (x - 2) \cdot (y - 3) = 24 \), donde 2 pulgadas son los márgenes izquierdo y derecho y 3 pulgadas son los márgenes superior e inferior.
2. **Área Total de la Página**:
- El área total de la página es \( x \cdot y \).
3. **Expresión para el Área de Impresión**:
- Usamos la ecuación de impresión para expresar \( y \) en términos de \( x \):
\[
y - 3 = \frac{24}{x - 2}
\]
\[
y = \frac{24}{x - 2} + 3
\]
4. **Expresión del Área Total**:
- Sustituimos \( y \) en la fórmula del área total:
\[
A = x \cdot y
\]
\[
A = x \left(\frac{24}{x - 2} + 3\right)
\]
\[
A = \frac{24x}{x - 2} + 3x
\]
5. **Minimización del Área**:
- Derivamos \( A \) respecto a \( x \) y lo igualamos a 0 para encontrar el mínimo:
\[
\frac{dA}{dx} = \frac{24(x - 2) - 24x}{(x - 2)^2} + 3
\]
\[
\frac{dA}{dx} = \frac{24x - 48 - 24x}{(x - 2)^2} + 3
\]
\[
\frac{dA}{dx} = \frac{-48}{(x - 2)^2} + 3
\]
\[
\frac{-48}{(x - 2)^2} + 3 = 0
\]
\[
\frac{48}{(x - 2)^2} = 3
\]
\[
(x - 2)^2 = \frac{48}{3} = 16
\]
\[
x - 2 = 4
\]
\[
x = 6
\]
6. **Encontrar \( y \)**:
- Sustituimos \( x = 6 \) en la ecuación para \( y \):
\[
y = \frac{24}{6 - 2} + 3
\]
\[
y = \frac{24}{4} + 3
\]
\[
y = 6 + 3
\]
\[
y = 9
\]
7. **Resultado**:
- Las dimensiones de la página que minimizan el área total son 6 pulgadas de ancho por 9 pulgadas de altura.