Respuesta:
Para resolver este problema, primero necesitamos calcular la potencia reactiva de la carga y luego determinar la capacitancia necesaria para corregir el factor de potencia.
### Datos:
- Potencia activa (\(P\)): 4 kW = 4000 W
- Factor de potencia inicial (\(fp_1\)): 0.8 (atrasado)
- Factor de potencia final deseado (\(fp_2\)): 0.95
- Voltaje (\(V\)): 120 V (rms)
- Frecuencia (\(f\)): 60 Hz
### Paso 1: Calcular la potencia aparente (\(S\)) y la potencia reactiva (\(Q\)) de la carga
La potencia aparente se calcula como:
\[
S = \frac{P}{fp_1} = \frac{4000}{0.8} = 5000 \, \text{VA}
\]
Ahora, podemos calcular la potencia reactiva (\(Q\)) usando la relación:
\[
S^2 = P^2 + Q^2
\]
Despejamos \(Q\):
\[
Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{5000^2 - 4000^2}
\]
\[
Q = \sqrt{25000000 - 16000000} = \sqrt{9000000} = 3000 \, \text{VAR}
\]
### Paso 2: Calcular la potencia reactiva necesaria para el nuevo factor de potencia
Para el nuevo factor de potencia (\(fp_2\)), calculamos la nueva potencia aparente (\(S_2\)):
\[
S_2 = \frac{P}{fp_2} = \frac{4000}{0.95} \approx 4210.53 \, \text{VA}
\]
Ahora, calculamos la nueva potencia reactiva (\(Q_2\)):
\[
Q_2 = \sqrt{S_2^2 - P^2} = \sqrt{4210.53^2 - 4000^2}
\]
\[
Q_2 = \sqrt{17773380.6 - 16000000} \approx \sqrt{177380.6} \approx 1332.22 \, \text{VAR}
\]
### Paso 3: Calcular la potencia reactiva que debe ser compensada por el capacitor
La potencia reactiva que debe ser compensada (\(Q_c\)) es:
\[
Q_c = Q - Q_2 = 3000 - 1332.22 \approx 1867.78 \, \text{VAR}
\]
### Paso 4: Calcular la capacitancia necesaria
La relación entre la potencia reactiva de un capacitor y su capacitancia es:
\[
Q_c = V^2 \cdot 2 \pi f C
\]
Despejamos \(C\):
\[
C = \frac{Q_c}{V^2 \cdot 2 \pi f}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
C = \frac{1867.78}{(120^2) \cdot (2 \pi \cdot 60)}
\]
\[
C = \frac{1867.78}{14400 \cdot 376.99} \approx \frac{1867.78}{5429918.4} \approx 0.000344 \, \text{F}
\]
### Paso 5: Convertir a microfaradios
\[
C \approx 344 \, \mu\text{F}
\]
### Resumen
La capacitancia necesaria para aumentar el factor de potencia a 0.95 es aproximadamente **344 µF**.
