La distancia entre el iceberg y el faro es de aproximadamente 6.46 kilómetros
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera
Representamos la situación en un triángulo ABC: en donde en el vértice C se encuentra el punto en donde se encuentra el barco, donde desde este punto C se observan un iceberg y un faro- siendo conocidas las distancias desde el barco hasta los dos objetos avistados- .Teniendo el lado AC (b) que equivale a la distancia desde el barco hasta el punto A donde se halla el iceberg y el lado BC (a) conforma la distancia desde el barco hasta el punto B donde se ubica el faro. Siendo las dos longitudes al mismo tiempo las líneas visuales desde el barco hasta el iceberg y el faro respectivamente. Formando ambas longitudes un ángulo de 40° en el punto C donde se encuentra el barco-. Y el lado AB (c) representa la distancia entre el iceberg y el faro -ubicados respectivamente en los puntos A y B -la cual es nuestra incógnita
Donde se pide hallar:
La distancia entre el iceberg y el faro
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\large\textsf{Distancia desde el Barco al Iceberg }[/tex]
[tex]\bold{\overline{AC}=b = 7 \ km}[/tex]
[tex]\large\textsf{Distancia desde el Barco al Faro }[/tex]
[tex]\bold{\overline{BC}=a = 10 \ km}[/tex]
[tex]\large\textsf{\'Angulo de Avistamiento desde el Barco al Iceberg y al Faro }[/tex]
[tex]\bold{C =40^o}[/tex]
Ver gráfico adjunto
Luego calculamos la distancia entre el iceberg y el faro
Aplicando el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Determinamos la distancia entre el iceberg y el faro
La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)
Conocemos el valor de dos lados del triángulo-que representan las distancias respectivas desde el barco hasta el iceberg y desde el barco hasta el faro - y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia entre el iceberg y el faro
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =( 10 \ km)^{2} + (7 \ km)^{2} - 2 \cdot 10 \ km \cdot 7 \ km \cdot cos(40^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 100 \ km^{2} +49 \ km^{2} - 140 \ km^{2} \cdot cos(40^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =149 \ km^{2} - 140 \ km^{2} \cdot cos(40^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =149 \ km^{2} - 140 \ km^{2} \cdot 0.766044443119 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =149 \ km^{2} - 107.24622203666 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 41.75377796334 \ km^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 41.75377796334 \ km^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 41.75377796334 \ km^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c \approx 6.4617 \ km }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 6.46 \ km}}[/tex]
La distancia entre el iceberg y el faro es de aproximadamente 6.46 kilómetros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
