Respuesta:
Aproximadamente de 52.31
Explicación:
Para calcular el área bajo la curva de la función f(x) = 3x^2 + (1/2)x + 2 en el intervalo [1,4] utilizando sumas de Riemann, necesitamos seguir los siguientes pasos:
1. Dividir el intervalo [1,4] en n subintervalos de igual longitud. Llamemos a la longitud de cada subintervalo Δx.
2. En cada subintervalo, elegir un punto x_i y evaluar la función f(x_i) en ese punto.
3. Calcular el área del rectángulo que se forma en cada subintervalo, que es f(x_i) * Δx.
4. Sumar las áreas de todos los rectángulos para obtener una aproximación del área bajo la curva.
La fórmula para calcular el área es:
Área ≈ Σ [f(x_i) * Δx]
donde Σ denota la suma de los n términos.
Para este ejemplo, vamos a utilizar n = 4 subintervalos.
El intervalo [1,4] se divide en 4 subintervalos de longitud Δx = (4-1)/4 = 0.75.
Los puntos x_i son: x_1 = 1, x_2 = 1.75, x_3 = 2.5, x_4 = 3.25.
Evaluamos la función f(x) en cada punto x_i:
f(x_1) = 3(1)^2 + (1/2)(1) + 2 = 3.5
f(x_2) = 3(1.75)^2 + (1/2)(1.75) + 2 = 10.3125
f(x_3) = 3(2.5)^2 + (1/2)(2.5) + 2 = 20.625
f(x_4) = 3(3.25)^2 + (1/2)(3.25) + 2 = 35.3125
Calculamos el área de cada rectángulo:
Área_1 = f(x_1) * Δx = 3.5 * 0.75 = 2.625
Área_2 = f(x_2) * Δx = 10.3125 * 0.75 = 7.7344
Área_3 = f(x_3) * Δx = 20.625 * 0.75 = 15.4688
Área_4 = f(x_4) * Δx = 35.3125 * 0.75 = 26.4844
Sumamos las áreas:
Área ≈ 2.625 + 7.7344 + 15.4688 + 26.4844 = 52.3126
Por lo tanto, el área bajo la curva de la función f(x) = 3x^2 + (1/2)x + 2 en el intervalo [1,4] es aproximadamente 52.31.
Ten en cuenta que este es un cálculo aproximado, y la precisión aumenta a medida que se incrementa el número de subintervalos (n).
