Respuesta :
Respuesta: El perímetro (fracción simplificada) de este nuevo triángulo es: 32.
Explicación: Primero, identificamos las características del triángulo rectángulo. Los lados del triángulo son 8, 15 y 17, donde 17 es la hipotenusa. La mediatriz de la hipotenusa es la línea que divide la hipotenusa en dos partes iguales y es perpendicular a ella.
La hipotenusa divide en dos segmentos iguales, por lo que la longitud de cada segmento es:
\[
\frac{17}{2} = 8.5
\]
Ahora, la mediatriz pasa por el punto medio de la hipotenusa, que se ubica a la mitad de la longitud de la misma. El punto medio \(M\) de la hipotenusa \(AB\) (donde \(A\) y \(B\) son los extremos de la hipotenusa) tiene coordenadas que podemos calcular si se establece un sistema de coordenadas. Asumamos que \(A(0, 0)\) y \(B(17, 0)\). Entonces, el punto medio \(M\) es:
\[
M\left(\frac{0 + 17}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (8.5, 0).
\]
La mediatriz de la hipotenusa \(AB\) es una recta vertical que corta \(AB\) por el punto \(M\) y que es perpendicular a \(AB\), lo que significa que la mediatriz se extendería hacia arriba.
La longitud del segmento desde \(M\) hasta los vértices \(C(0, 15)\) de la hipotenusa es la altura del triángulo desde \(C\) hacia la hipotenusa. Podemos calcular la altura \(d\) usando la fórmula para calcular la distancia (que en este contexto es el radio del círculo circunscrito):
La altura es:
\[
d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}
\]
donde \((x, y)\) es el punto \(C(8.5, 15)\) y \((x_0, y_0)\) es el punto medio \(M(8.5, 0)\):
\[
d = \sqrt{(8.5 - 8.5)^2 + (15 - 0)^2} = \sqrt{0 + 15^2} = 15
\]
Ahora, el nuevo triángulo formado contendrá a los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) (el vértice del triángulo).
Los lados de este nuevo triángulo son:
- \(AM = 8.5\),
- \(BM = 8.5\),
- \(CM = 15\).
Su perímetro es:
\[
P = AM + BM + CM = 8.5 + 8.5 + 15
\]
Calculamos el perímetro:
\[
P = 17 + 15 = 32
\]
El resultado es:
\[
\frac{32}{1} \rightarrow 32
\]
El perímetro del nuevo triángulo es \(32\).
Como este es un entero, no necesitamos simplificar más.