Respuesta :
Explicación paso a paso:
¡Hay un pequeño error en la ecuación de la elipse!
Para que una elipse represente una figura geométrica real, la suma de las fracciones en su ecuación debe ser igual a 1, no a 0. La ecuación correcta de la elipse debería ser:
x^2/100 + y^2/25 = 1
Ahora sí, podemos encontrar la ecuación de la recta tangente.
Pasos a seguir:
* Derivar implícitamente la ecuación de la elipse:
Al derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x, obtenemos:
(2x/100) + (2y/25) * (dy/dx) = 0
* Simplificar y despejar dy/dx:
dy/dx = -(25x)/(100y) = -x/(4y)
Este resultado representa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de la elipse.
* Evaluar la pendiente en el punto dado (6, 4):
Sustituimos x = 6 y y = 4 en la expresión de dy/dx:
m = -6/(4*4) = -3/8
* Utilizar la ecuación punto-pendiente de la recta:
y - y1 = m(x - x1)
Sustituimos los valores de m, x1 y y1:
y - 4 = (-3/8)(x - 6)
Ecuación de la recta tangente:
Simplificando la ecuación anterior, obtenemos la ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto (6, 4):
y = (-3/8)x + 4.75
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la elipse x^2/100 + y^2/25 = 1 en el punto (6, 4) es y = (-3/8)x + 4.75.
Si tienes alguna otra pregunta o necesitas más explicaciones, no dudes en preguntar.
Nota: La derivación implícita es una técnica utilizada cuando no podemos despejar explícitamente y en función de x. En este caso, derivamos toda la ecuación con respecto a x, considerando a y como una función de x.