Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Sabiendo que en 1 metro se tienen 100 centímetros
[tex]\boxed{ \bold{ Longitud \ Escalera= 80 \not cm \cdot \left( \frac{1 \ m }{100 \not cm } \right) = 0.8 \ m }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo ABC: en donde los lados BC (a) y AB (c) equivalen a las longitudes desde el pie de la escalera hasta la parte superior del tobogán y desde el pie de la escalera hasta el punto donde termina el tobogán -en el suelo- respectivamente de las cuales conocemos sus valores siendo de 0.8 metros la primera y de 1.9 metros la segunda. Y el lado AC (b) que representa la longitud del tobogán - la cual es nuestra incógnita -. Sabiendo que el ángulo formado por la parte superior de la escalera y la parte superior del tobogán es de 103°
Denotamos al ángulo dado por enunciado: donde se unen las partes superiores de la escalera y el tobogán de 103° como γ
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{ 0.8\ m }{ sen (A) }= \frac{1.9 \ m }{sen(103 ^o ) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ 0.8 \ m \cdot sen(103^o ) }{1.9 \ m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ 0.8 \not m \cdot sen(103^o ) }{1.9 \not m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = \frac{ 0.8 \cdot sen(103^o ) }{1.9 }} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = \frac{ 0.8 \cdot 0.974370064785 }{1.9 }} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = \frac{ 0.779496051828 }{1.9 }} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = 0.4102610799094737} }[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa del seno para hallar el \'angulo }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { A = arcsen\left(0.4102610799094737 \right) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { A \approx 24.2212 ^o }}[/tex]
[tex]\textsf{Aproximando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { A \approx24.22 ^o }}[/tex]
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°
Planteamos
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 103^o+ 24.22^o+B }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {B = 180^o- 103^o -24.22^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {B= 52.78^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{ b }{ sen(52.78 ^o ) }= \frac{1.9 \ m }{sen(103 ^o ) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 1.9 \ m \cdot sen(52.78 ^o ) }{\ sen(103^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 1.9 \ m \cdot 0.796318824597 }{0.974370064785 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{1.5130057667343 }{ 0.974370064785}\ m}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b \approx 1.5528\ metros }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { b \approx 1.55 \ metros }}[/tex]
Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones de los lados y los ángulos planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
