Respuesta:
Para encontrar el área encerrada bajo la curva y el eje de las abscisas en el intervalo [-6,4], se utiliza la integral definida:
∫[-6,4] (-x^2 - 3x + 10) dx
Primero, se encuentra los puntos de intersección de la curva con el eje de las abscisas:
-x^2 - 3x + 10 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, se obtienen los puntos x = 2 y x = 5.
Luego, se divide la integral en dos partes:
∫[-6,2] (-x^2 - 3x + 10) dx + ∫[2,4] (-x^2 - 3x + 10) dx
Evaluando cada integral, se obtiene:
∫[-6,2] (-x^2 - 3x + 10) dx = - (x^3/3 + 3x^2/2 + 10x) | [-6, 2]
= - (8/3 + 12 + 20) + (216/3 + 54 + 60)
= - 40/3 + 330/3
= 290/3
∫[2,4] (-x^2 - 3x + 10) dx = (x^3/3 + 3x^2/2 - 10x) | [2, 4]
= (64/3 + 48 - 40) - (8/3 + 12 - 20)
= 72/3 - 20/3
= 52/3
Finalmente, se combina los resultados:
290/3 - 52/3 = 238/3
El área encerrada bajo la curva y el eje de las abscisas en el intervalo [-6,4] es 238/3.
