Respuesta:
Explicación paso a paso:
Vamos a analizar la función cuadrática
(
)
=
−
2
2
+
7
+
9
f(x)=−2x
2
+7x+9 siguiendo los puntos que mencionaste:
a) Cálculo de raíces
Para calcular las raíces de la función, podemos usar la fórmula cuadrática:
=
−
±
2
−
4
2
x=
2a
−b±
b
2
−4ac
Donde:
=
−
2
a=−2
=
7
b=7
=
9
c=9
Primero, calculamos el discriminante:
2
−
4
=
7
2
−
4
(
−
2
)
(
9
)
=
49
+
72
=
121
b
2
−4ac=7
2
−4(−2)(9)=49+72=121
Ahora, calculamos las raíces:
=
−
7
±
121
2
(
−
2
)
=
−
7
±
11
−
4
x=
2(−2)
−7±
121
=
−4
−7±11
Las dos raíces son:
1
=
−
7
+
11
−
4
=
4
−
4
=
−
1
x
1
=
−4
−7+11
=
−4
4
=−1
2
=
−
7
−
11
−
4
=
−
18
−
4
=
4.5
x
2
=
−4
−7−11
=
−4
−18
=4.5
b) Signo
Para determinar el signo de la función cuadrática, se puede analizar el intervalo entre las raíces. Las raíces son
=
−
1
x=−1 y
=
4.5
x=4.5.
Para
<
−
1
x<−1:
(
)
>
0
f(x)>0 (la parábola está por encima del eje x).
Para
−
1
<
<
4.5
−1<x<4.5:
(
)
<
0
f(x)<0 (la parábola está por debajo del eje x).
Para
>
4.5
x>4.5:
(
)
>
0
f(x)>0 (la parábola está nuevamente por encima del eje x).
c) Vértice
El vértice de una parábola dada por la función
(
)
=
2
+
+
f(x)=ax
2
+bx+c se puede encontrar usando:
=
−
2
x
v
=−
2a
b
Sustituyendo:
=
−
7
2
(
−
2
)
=
7
4
=
1.75
x
v
=−
2(−2)
7
=
4
7
=1.75
Para encontrar la coordenada
y del vértice, sustituimos
x
v
en la función:
(
1.75
)
=
−
2
(
1.75
)
2
+
7
(
1.75
)
+
9
f(1.75)=−2(1.75)
2
+7(1.75)+9
=
−
2
(
3.0625
)
+
12.25
+
9
=−2(3.0625)+12.25+9
=
−
6.125
+
12.25
+
9
=
15.125
=−6.125+12.25+9=15.125
Por lo tanto, el vértice es
(
1.75
,
15.125
)
(1.75,15.125).
d) Ordenada en el origen
Para encontrar la ordenada en el origen, evaluamos
(
0
)
f(0):
(
0
)
=
−
2
(
0
)
2
+
7
(
0
)
+
9
=
9
f(0)=−2(0)
2
+7(0)+9=9
Por lo tanto, la ordenada en el origen es
(
0
,
9
)
(0,9).
e) Concavidad
La concavidad de la parábola está determinada por el coeficiente
a:
Si
>
0
a>0, la parábola es cóncava hacia arriba.
Si
<
0
a<0, la parábola es cóncava hacia abajo.
En este caso,
=
−
2
<
0
a=−2<0, por lo tanto, la parábola es cóncava hacia abajo.
Resumen:
Raíces:
=
−
1
x=−1 y
=
4.5
x=4.5
Signo:
(
)
>
0
f(x)>0 para
<
−
1
x<−1 y
>
4.5
x>4.5;
(
)
<
0
f(x)<0 para
−
1
<
<
4.5
−1<x<4.5
Vértice:
(
1.75
,
15.125
)
(1.75,15.125)
Ordenada en el origen:
(
0
,
9
)
(0,9)
Concavidad: Hacia abajo
