Respuesta :
El tiempo de vuelo del motor es de 20 segundos, llegando al suelo para ese instante de tiempo. Siendo su alcance horizontal de 4200 metros
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal: [tex]\bold { V_{x} }[/tex] , debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex] , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende
Tiempo de vuelo del motor
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
Consideramos la altura H desde donde se desprendió horizontalmente el proyectil: [tex]\bold{H = 2000 \ m }[/tex]
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:
[tex]\bold { V_{0y} = 0 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2 \ H =g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\cdot2000 \ m }{ 10\ \frac{m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 4000 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{400 \ s^{2} } } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 20 \ segundos } }[/tex]
El tiempo de vuelo del motor es de 20 segundos
Alcance máximo del proyectil, es decir la trayectoria horizontal recorrida
Dado que en el eje X se tiene un MRU durante toda la trayectoria: para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil al llegar al suelo , basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo. Donde la velocidad inicial horizontal es de: [tex]\bold { V_{0x} = 210 \ \frac{m}{s} }[/tex] y el tiempo de vuelo es de: [tex]\bold { t_{v} =20 \ s }[/tex] -hallado previamente-
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \cdot t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \cdot t }}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =210 \ \frac{m}{\not s} \cdot20 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d = 4200 \ metros}}[/tex]
El alcance o desplazamiento horizontal del motor es de 4200 metros
Aunque el enunciado no lo pida
Determinamos la velocidad con la cual el motor llega al suelo
Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 20 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =210 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \cdot 20 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-200\ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad para el instante de tiempo en que el proyectil llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(210 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-200 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{44100\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +40000\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{84100\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| \approx 290 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad con la cual llega el motor al suelo es de 290 metros por segundo (m/s)
Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento
Como se puede apreciar se describe una semiparábola
