Explicación:
Para determinar los límites dados, utilizaremos métodos básicos de límites, como la evaluación directa, la simplificación de fracciones, y en algunos casos, la aplicación de la regla de L'Hôpital. Aquí están los cálculos paso a paso:
### 1. \(\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 + 5x - 9}{x - 7}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \frac{3(2)^2 + 5(2) - 9}{2 - 7} = \frac{3 \cdot 4 + 10 - 9}{-5} = \frac{12 + 10 - 9}{-5} = \frac{13}{-5} = -\frac{13}{5} \]
### 2. \(\lim_{x \to 0} \sqrt{6x^2 + 7}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \sqrt{6(0)^2 + 7} = \sqrt{7} = \sqrt{7} \]
### 3. \(\lim_{x \to 3} \frac{9x + 3}{3x^2 + 7x - 10}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \frac{9(3) + 3}{3(3)^2 + 7(3) - 10} = \frac{27 + 3}{27 + 21 - 10} = \frac{30}{38} = \frac{15}{19} \]
### 4. \(\lim_{x \to 4} 8\)
Este es un límite constante:
\[ \lim_{x \to 4} 8 = 8 \]
### 5. \(\lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{5x - 2}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \frac{0 + 3}{5(0) - 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \]
### 6. \(\lim_{x \to 3} \frac{8x^2 + 4x - 12}{x - 3}\)
Para este límite, aplicamos la regla de L'Hôpital, ya que la forma es \(\frac{0}{0}\):
Primero derivamos el numerador y el denominador:
\[ \lim_{x \to 3} \frac{16x + 4}{1} = 16(3) + 4 = 48 + 4 = 52 \]
### 7. \(\lim_{x \to 2} \sqrt{10x^2 - 2x + 8}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \sqrt{10(2)^2 - 2(2) + 8} = \sqrt{40 - 4 + 8} = \sqrt{44} = \sqrt{44} \]
### 8. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^3 + 7x^2 - 1}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \frac{(1)^2 - 7(1) + 10}{(1)^3 + 7(1)^2 - 1} = \frac{1 - 7 + 10}{1 + 7 - 1} = \frac{4}{7} \]
### 9. \(\lim_{x \to -5} \frac{x + 3}{x - 4}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \frac{-5 + 3}{-5 - 4} = \frac{-2}{-9} = \frac{2}{9} \]
### 10. \(\lim_{x \to 5} 6x^2 + 3x + 12\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ 6(5)^2 + 3(5) + 12 = 6 \cdot 25 + 15 + 12 = 150 + 15 + 12 = 177 \]
### 11. \(\lim_{x \to 4} \sqrt{10x^2 - 2x + 8}\)
Para este límite, evaluamos directamente (similar al anterior):
\[ \sqrt{10(4)^2 - 2(4) + 8} = \sqrt{160 - 8 + 8} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \]
### 12. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^3 + 7x^2 - 1}\)
Para este límite, evaluamos directamente (similar al anterior):
\[ \frac{(1)^2 - 7(1) + 10}{(1)^3 + 7(1)^2 - 1} = \frac{1 - 7 + 10}{1 + 7 - 1} = \frac{4}{7} \]
### 13. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 9x + 20}{x^2 - 4}\)
Este límite requiere simplificación. Factorizamos:
\[ \frac{(x - 4)(x - 5)}{(x - 2)(x + 2)} \]
Evaluamos directamente:
\[ \frac{(2 - 4)(2 - 5)}{(2 - 2)(2 + 2)} = \frac{(-2)(-3)}{0 \cdot 4} = \frac{6}{0} \]
Esto indica una discontinuidad (posiblemente un asíntota vertical). Verificamos simplificando más:
Como \(x\) se aproxima a 2, simplificamos:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 4)(x - 5)}{(x - 2)(x + 2)} \]
Nos aproximamos cuidadosamente:
Si \(x \to 2^+\):
\[ \lim_{x \to 2^+} \frac{(2^+ - 4)(2^+ - 5)}{(2^+ - 2)(2^+ + 2)} \]
Simplificando:
\[ \frac{(-2)(-3)}{(2^+ - 2)(4)} \]
Límite más detallado lleva análisis directo, simplificado directrices no convergentes exactas del contexto matemático directrices precisas.
### 14. \(\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 2}\)
Evaluamos directamente:
\[ \frac{2(1)^2 - 3(1) - 1}{1 + 2} = \frac{2 - 3 - 1}{3} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} \]
### 15. \(\lim_{x \to 2} x^2\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ (2)^2 = 4 \]
### 16. \(\lim_{x \to 1} x^2 - x - 12\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ (1)^2 - 1 - 12 = 1 - 1 - 12 = -12 \]
### 17. \(\lim_{x \to 0} 4x + 5\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ 4(0) + 5 = 5 \]
### 18. \(\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 + 5x - 9}{2x^2 - 3x - 1}\)
Para este límite, evaluamos directamente:
\[ \frac{3(1)^2 + 5(1) - 9}{2(1)^2 - 3(1) - 1} = \frac{3 + 5 - 9}{2 - 3 - 1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \]
