Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Se tiene un terreno triangular no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de dos de sus lados -con magnitudes de 110 metros y 138 metros- a los que llamamos a y c respectivamente, y el valor de uno de sus ángulos -de 41°, el cual es el ángulo comprendido entre los lados a y c -al que llamamos B
[tex]\bold{a = 110 \ m}[/tex]
[tex]\bold{c = 138 \ m}[/tex]
[tex]\bold{B = 41^o}[/tex]
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la magnitud del lado faltante
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} =( 110 \ m)^{2} + (138 \ m)^{2} - 2 \cdot 110 \ m \cdot 138 \ m \cdot cos(41^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} = 12100 \ m^{2} +19044 \ m^{2} - 30360 \ m^{2} \cdot cos(41^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} =31144 \ m^{2} - 30360 \ m^{2} \cdot cos(41^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} =31144 \ m^{2} - 30360 \ m^{2} \cdot 0.754709580223 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} =31144 \ m^{2} - 22912.98285557028 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {b^{2} =8231.01714442972 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ b ^{2} } = \sqrt{ 8231.01714442972 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {b = \sqrt{ 8231.01714442972 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b \approx 90.724953 \ m }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando a la d\'ecima }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b \approx 90.7 \ metros}}[/tex]
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Tomamos mayor cantidad de decimales para el lado b para determinar un ángulo más exacto
[tex]\bold{b= 90.72495 \ m}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{ 110\ m }{ sen (A) }= \frac{90.72495 \ m }{sen(41 ^o ) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ 110 \ m \cdot sen(41^o ) }{90.72495 \ m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ 110 \not m \cdot sen(41^o ) }{90.72495 \not m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = \frac{ 110 \cdot sen(41^o ) }{90.72495 }} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = \frac{ 110 \cdot 0.656059028991 }{90.72495 }} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = \frac{72.166649318901 }{90.72495 }} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen (A) = 0.7954426339062187} }[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa del seno para hallar el \'angulo }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { A = arcsen\left( 0.7954426339062187\right) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { A \approx 52.697 ^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { A \approx52.7 ^o }}[/tex]
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°
Planteamos
[tex]\boxed {\bold { 180^o =41^o+ 52.7^o+C }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {C = 180^o- 41^o -52.7^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {C= 86.3^o }}[/tex]
Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
