La distancia de separación entre los dos barcos es de aproximadamente 8.07 kilómetros
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera
Representamos la situación en un triángulo ABC: en donde en el vértice A se encuentra el punto en donde se encuentra el punto marítimo, donde desde este punto A se observan dos barcos pesqueros: el barco B y el barco C- siendo conocidas las distancias desde el punto marítimo hasta los dos barcos avistados- .Teniendo el lado AB (c) que equivale a la distancia desde el punto marítimo hasta el punto B donde se halla el barco pesquero B y el lado AC (b) conforma la distancia desde el punto marítimo hasta el punto C donde se ubica el el barco pesquero C. Siendo las dos longitudes al mismo tiempo las líneas visuales desde el punto marítimo hasta el barco B y el barco C respectivamente. Formando ambas longitudes un ángulo de 66.8° en el punto A donde se encuentra el punto marítimo-. Y el lado BC (a) representa la distancia de separación entre el barco B y el barco C -ubicados respectivamente en los puntos B y C -la cual es nuestra incógnita
Donde se pide hallar:
La distancia de separación entre los barcos B y C
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\large\textsf{Distancia desde el Punto Mar\'itimo al Barco B }[/tex]
[tex]\bold{\overline{AB}=c = 8.5 \ km}[/tex]
[tex]\large\textsf{Distancia desde el Punto Mar\'itimo al Barco C }[/tex]
[tex]\bold{\overline{AC}=b = 5.39 \ km}[/tex]
[tex]\large\textsf{\'Angulo de Avistamiento desde el Punto Mar\'itimo a los Barcos B y C }[/tex]
[tex]\bold{A =66.8^o}[/tex]
Ver gráfico adjunto
Luego calculamos la distancia entre los dos barcos B y C
Aplicando el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Determinamos la distancia entre los dos barcos B y C
La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado BC (a)
Conocemos el valor de dos lados del triángulo-que representan las distancias respectivas desde el punto marítimo hasta el barco B y desde el punto marítimo hasta el barco C - y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia de separación entre los barcos B y C
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} =( 5.39 \ km)^{2} + (8.5 \ km)^{2} - 2 \cdot5.39 \ km \cdot 8.5 \ km \cdot cos(66.8^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} = 29.0521 \ km^{2} +72.25 \ km^{2} - 91.63 \ km^{2} \cdot cos(66.8^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} =101.3021 \ km^{2} - 91.63 \ km^{2} \cdot cos(66.8^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} =101.3021 \ km^{2} - 91.63 \ km^{2} \cdot 0.393941909591 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} =101.3021 \ km^{2} - 36.09689717582333 \ km^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} = 65.20520282417667 \ km^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ a^{2} } = \sqrt{65.20520282417667 \ km^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {a = \sqrt{ 65.20520282417667 \ km^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a \approx 8.0749 \ km }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { a \approx 8.07 \ km}}[/tex]
La distancia de separación entre el barco B y el barco C es de aproximadamente 8.07 kilómetros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
