Respuesta :
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Para resolver el problema, usaremos trigonometría, específicamente la función tangente en un triángulo rectángulo.
### Datos:
- Altura del poste (\( h \)): 3.5 m
- Ángulo de visión (\( \theta \)): 40°
### Paso 1: Encontrar la distancia desde el poste hasta el punto donde se fija el cable al suelo
En un triángulo rectángulo, la tangente del ángulo es igual al cociente entre la altura del poste y la distancia horizontal (\( d \)) desde el poste al punto de observación:
\[ \tan(\theta) = \frac{h}{d} \]
Despejamos \( d \):
\[ d = \frac{h}{\tan(\theta)} \]
Sustituimos los valores:
\[ d = \frac{3.5}{\tan(40^\circ)} \]
Usamos una calculadora para obtener el valor de \( \tan(40^\circ) \):
\[ \tan(40^\circ) \approx 0.8391 \]
Por lo tanto:
\[ d = \frac{3.5}{0.8391} \approx 4.17 \text{ m} \]
### Paso 2: Encontrar la longitud del cable
La longitud del cable es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por el poste y la distancia horizontal. Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar esta longitud (\( L \)):
\[ L = \sqrt{h^2 + d^2} \]
Sustituimos los valores:
\[ L = \sqrt{3.5^2 + 4.17^2} \]
Calculamos:
\[ 3.5^2 = 12.25 \]
\[ 4.17^2 \approx 17.39 \]
\[ L = \sqrt{12.25 + 17.39} \approx \sqrt{29.64} \approx 5.44 \text{ m} \]
### Resumen:
- **Distancia desde el poste al punto de fijación del cable en el suelo**: aproximadamente **4.17 m**.
- **Longitud del cable**: aproximadamente **5.44 m**.
Explicación paso a paso: