Respuesta :
Los valores de los ángulos interiores del triángulo son de:
A = 53.58°, B = 59.56° y C = 66.86°
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Se tiene un triángulo no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de sus tres lados a, b y c, al que empleando la notación habitual en los triángulos llamamos A, B y C a los ángulos respectivamente opuestos a esos lados
Por tanto conocemos las magnitudes de los tres lados del triángulo:
[tex]\bold{a = 14 \ cm }[/tex]
[tex]\bold{b = 15 \ cm }[/tex]
[tex]\bold{c =16 \ cm }[/tex]
Donde se pide determinar las medidas de los ángulos interiores del triángulo
Ver gráfico adjunto
Para resolver este ejercicio y determinar los valores de los ángulos desconocidos del triángulo vamos a aplicar el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]
Hallamos el valor del ángulo A
Por el teorema del coseno podemos expresar:
[tex]\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex]
Luego
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \cdot b \cdot c } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(15 \ cm )^{2} + (16 \ cm )^{2} - (14 \ cm )^{2} }{2 \cdot 15 \ cm \cdot 16 \ cm } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{225 \ cm^{2} +256 \ cm^{2} - 196 \ cm^{2} }{480 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{481 \ cm^{2} - 196 \ cm^{2} }{480 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{285 \not cm^{2} }{480 \not cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 285 }{480 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ \not 15\cdot19 }{\not15\cdot 32 } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 19 }{32 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {A=arccos\left( \frac{19}{32}\right ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {A = 53.576^o }}[/tex]
[tex]\textsf{Aproximando}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {A =53.58^o }}[/tex]
El valor del ángulo A es de 53.58°
Hallamos el valor del ángulo B
Por el teorema del coseno podemos expresar:
[tex]\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B ) }}[/tex]
Luego
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \cdot a \cdot c } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(14 \ cm)^{2} + (16 \ cm) ^{2} - (15 \ cm)^{2} }{2 \cdot 14 \ cm \cdot 16 \ cm } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{196 \ cm^{2} +256 \ cm^{2} - 225\ cm^{2} }{448 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{452\ cm^{2} - 225 \ cm^{2} }{448 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{227\not cm^{2} }{448\not cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 227}{448 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {B=arccos\left( \frac{227}{448}\right ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {B = 59.55597^o }}[/tex]
[tex]\textsf{Aproximando}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {B =59.56^o }}[/tex]
El valor del ángulo B es de 59.56°
Hallamos el valor del ángulo C
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°
Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero
Planteando:
[tex]\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {180^o= 53.58 ^o +59.56^o+C }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {C = 180^o-53.58^o - 59.56^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {C = 66.86^o }}[/tex]
El valor del ángulo C es de 66.86°
Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
Nota: Se agrega como adjunto el triángulo correspondiente para este problema
