Respuesta:
Para calcular el valor de \(\sqrt{13} (\sin(\theta) + \cos(\theta))\) dado que \(\tan(\theta) = \frac{2}{3}\) y que \(\theta\) es un ángulo agudo, podemos seguir estos pasos:
1. **Encontrar \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\)**:
- Dado que \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{2}{3}\), podemos considerar un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto \(a = 2\) y el cateto adyacente \(b = 3\).
2. **Calcular la hipotenusa**:
- Usamos el teorema de Pitágoras:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
\]
3. **Determinar \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\)**:
- Entonces:
\[
\sin(\theta) = \frac{a}{c} = \frac{2}{\sqrt{13}}, \quad \cos(\theta) = \frac{b}{c} = \frac{3}{\sqrt{13}}
\]
4. **Calcular \(\sin(\theta) + \cos(\theta)\)**:
\[
\sin(\theta) + \cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{13}} + \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{2 + 3}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}
\]
5. **Calcular \(\sqrt{13} (\sin(\theta) + \cos(\theta))\)**:
\[
\sqrt{13} \left(\sin(\theta) + \cos(\theta)\right) = \sqrt{13} \left(\frac{5}{\sqrt{13}}\right) = 5
\]
### Resultado:
El valor de \(\sqrt{13} (\sin(\theta) + \cos(\theta))\) es \(5\).
Explicación paso a paso:
