Respuesta :
La altura h de la antena es de 7 metros
Siendo correcta la opción a
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo
Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
Dado que desde cierta distancia se observa la base de una antena con un ángulo de elevación de 37° y el extremo o parte superior de dicha antena con un ángulo de elevación de 53°:
Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:
El ABC: en donde el lado AC representa la línea visual a la azotea del edificio en donde se ubica la base de la antena, la cual se observa con un ángulo de elevación de 37°, el lado BC equivale a la altura del edificio desde su base hasta su azotea en donde se ubica la base de la antena, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, - de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos altura “x”-, teniendo finalmente el lado AB el cual es la distancia desde determinado punto hasta la base del edificio en donde se halla la antena en su cima, siendo este cateto el adyacente al ángulo
El ABD: en donde el lado AD representa la línea visual hasta el extremo superior de la antena colocada en la azotea del edificio, la cual es vista con un ángulo de elevación de 53°, el lado BD es la altura del edificio desde su base hasta la parte superior de la antena que tiene en su azotea, siendo este cateto el opuesto al ángulo de elevación conocido de este triángulo, - donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos altura “y”-, teniendo por último, el lado AB -siendo este cateto el adyacente al ángulo dado- el cual es la distancia desde cierto punto al edificio - coincidiendo con el cateto adyacente del primer triángulo-
Donde se pide determinar
La altura "h" de la antena
Por tanto si hallamos la altura del edificio hasta la azotea donde se ubica la base de la antena - altura “x”- y la altura del edificio hasta el extremo superior de la antena - altura “y”- en donde ambas longitudes son los catetos opuestos a los respectivos ángulos de elevación de los dos triángulos rectángulos:
Luego la altura de la antena- la cual es nuestra incógnita- se reduce a una resta de distancias entre la longitud de “y” y la longitud de “x”
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"
Razones trigonométricas con ángulos notables
En ABC
Hallamos la altura x - altura hasta la azotea del edificio- que coincide con la altura de la base de la antena
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha = 37^o }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ x }{ distancia\ al \ edificio } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ x = distancia\ al \ edificio \cdot tan(37^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ x = 12 \ m \cdot \frac{3}{4} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ x = \frac{36}{4} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {altura \ x = 9 \ metros } }[/tex]
Luego la altura hasta la azotea del edificio -la cual coincide con la base de la antena- es de 9 metros
En ABD
Hallamos la altura y -altura hasta el extremo superior de la antena-
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β [tex]\bold{\beta = 53^o }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ y }{ distancia\ al \ edificio } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ y = distancia\ al \ edificio \cdot tan(53^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ y = 12 \ m \cdot\frac{4}{3} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ y = \frac{48}{3} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {altura \ y = 16 \ metros } }[/tex]
Por tanto la altura hasta el extremo superior de la antena es de 16 metros
Hallamos la altura h de la antena
[tex]\boxed{\bold { Altura \ de \ la \ Antena\ (h) = altura \ y - altura \ x } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { Altura \ de \ la \ Antena\ (h)= 16 \ m - 9 \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {Altura \ de \ la \ Antena\ (h) = 7 \ metros } }[/tex]
La altura h de la antena es de 7 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio planteado, donde se comprueba el resultado obtenido
Nota: Se agrega como adjunto el enunciado completo para este problema con las opciones correspondientes
