Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para obtener la derivada de la función \( F(x) = (x^4 + 3x^2 - 2)^5 \), utilizaremos la regla de la cadena. Esta regla es útil cuando tienes una función compuesta, es decir, una función dentro de otra función.
La función que tienes es una función compuesta de la forma \( F(x) = [g(x)]^5 \), donde \( g(x) = x^4 + 3x^2 - 2 \).
La regla de la cadena dice que la derivada de \( [g(x)]^n \) es \( n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) \), donde \( g'(x) \) es la derivada de \( g(x) \).
**Pasos para derivar:**
1. **Deriva la función exterior** \( [g(x)]^5 \):
\[
\frac{d}{dx} [g(x)]^5 = 5 \cdot [g(x)]^4 \cdot g'(x)
\]
2. **Deriva la función interior** \( g(x) = x^4 + 3x^2 - 2 \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx} (x^4 + 3x^2 - 2) = 4x^3 + 6x
\]
3. **Sustituye \( g(x) \) y \( g'(x) \) en la derivada de la función exterior**:
\[
F'(x) = 5 \cdot (x^4 + 3x^2 - 2)^4 \cdot (4x^3 + 6x)
\]
**Resultado:**
\[
F'(x) = 5 \cdot (x^4 + 3x^2 - 2)^4 \cdot (4x^3 + 6x)
\]
