Respuesta :
Respuesta:\(a^2 - a + 1\) y el residuo es \(-2a - 2\)
Explicación paso a paso:Para simplificar la expresión \(\frac{a^4 - a^2 - 2a - 1}{a^2 + a + 1}\), podemos usar la división polinómica. Vamos a dividir el polinomio \(a^4 - a^2 - 2a - 1\) entre \(a^2 + a + 1\).
### Paso 1: División polinómica
1. **Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:**
\[
\frac{a^4}{a^2} = a^2
\]
2. **Multiplicamos el divisor \(a^2 + a + 1\) por \(a^2\) y restamos del dividendo:**
\[
(a^4 - a^2 - 2a - 1) - (a^2 \cdot (a^2 + a + 1)) = (a^4 - a^2 - 2a - 1) - (a^4 + a^3 + a^2) = -a^3 - 2a - 1
\]
3. **Dividimos el nuevo primer término del dividendo entre el primer término del divisor:**
\[
\frac{-a^3}{a^2} = -a
\]
4. **Multiplicamos el divisor \(a^2 + a + 1\) por \(-a\) y restamos del nuevo dividendo:**
\[
(-a^3 - 2a - 1) - (-a \cdot (a^2 + a + 1)) = (-a^3 - 2a - 1) - (-a^3 - a^2 - a) = a^2 - a - 1
\]
5. **Dividimos el nuevo primer término del dividendo entre el primer término del divisor:**
\[
\frac{a^2}{a^2} = 1
\]
6. **Multiplicamos el divisor \(a^2 + a + 1\) por \(1\) y restamos del nuevo dividendo:**
\[
(a^2 - a - 1) - (1 \cdot (a^2 + a + 1)) = (a^2 - a - 1) - (a^2 + a + 1) = -2a - 2
\]
### Resultado
Después de realizar la división, obtenemos el cociente y el residuo. El cociente es \(a^2 - a + 1\) y el residuo es \(-2a - 2\).
Entonces:
\[
\frac{a^4 - a^2 - 2a - 1}{a^2 + a + 1} = a^2 - a + 1 + \frac{-2a - 2}{a^2 + a + 1}
\]
El cociente de la división es \(a^2 - a + 1\) y el residuo es \(-2a - 2\).