Respuesta:
Para resolver este problema, empecemos por la expresión de \( A \):
\[ A = \frac{x^n - y^n}{x^n y^n} \]
Podemos reescribir esta expresión como:
\[ A = \frac{x^n}{x^n y^n} - \frac{y^n}{x^n y^n} = \frac{1}{y^n} - \frac{1}{x^n} \]
Por lo tanto:
\[ A = x^{-n} - y^{-n} \]
Con esta expresión en mente, revisemos las afirmaciones dadas:
1. **Afirmación I: \( A = y^{-n} - x^{-n} \)**
Esta afirmación es **falsa** porque el orden de los términos está invertido. La expresión correcta es \( A = x^{-n} - y^{-n} \).
2. **Afirmación II: El inverso multiplicativo de \( A \) es \( y^n - x^n \)**
El inverso multiplicativo de \( A \) sería \( \frac{1}{A} = \frac{1}{x^{-n} - y^{-n}} = \frac{x^n y^n}{y^n - x^n} \). Por lo tanto, esta afirmación es **falsa**.
3. **Afirmación III: El inverso aditivo de \( A \) es \( \frac{y^n - x^n}{-x^n \cdot y^n} \)**
El inverso aditivo de \( A \) es \( -A \), que es \( y^{-n} - x^{-n} \). Pero si multiplicamos \( A \) por el denominador que se presenta en la afirmación III, podemos observar que efectivamente, \( \frac{y^n - x^n}{-x^n y^n} \) es \( -A \). Por lo tanto, esta afirmación es **verdadera**.
Entonces, la única afirmación que es **siempre verdadera** es la **III**.
