Respuesta :
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Para hallar la ecuación de la parábola, primero debemos identificar su forma general y los datos proporcionados:
- Vértice \( V(-5, 3) \)
- Foco \( F(-9, 3) \)
### Paso 1: Determinar la orientación de la parábola
Dado que el vértice y el foco tienen la misma coordenada \( y \) (3), la parábola está orientada horizontalmente. Como el foco está a la izquierda del vértice, la parábola se abre hacia la izquierda.
La forma estándar de la ecuación para una parábola horizontal es:
\[
(y - k)^2 = 4p(x - h)
\]
donde \( (h, k) \) es el vértice, y \( p \) es la distancia entre el vértice y el foco.
### Paso 2: Calcular \( p \)
La distancia \( p \) es la distancia entre el vértice y el foco en la dirección del eje \( x \):
\[
p = h - x_F = -5 - (-9) = 4
\]
Como la parábola se abre hacia la izquierda, \( p \) será negativa:
\[
p = -4
\]
### Paso 3: Sustituir los valores en la ecuación
Sustituyendo los valores del vértice \( (h, k) = (-5, 3) \) y \( p = -4 \) en la ecuación estándar:
\[
(y - 3)^2 = 4(-4)(x + 5)
\]
\[
(y - 3)^2 = -16(x + 5)
\]
Esta es la ecuación de la parábola.
### Paso 4: Ecuación de la directriz
La directriz está a la misma distancia \( |p| \) del vértice, pero en la dirección opuesta al foco. Dado que \( p = -4 \), la directriz estará a una distancia de 4 unidades hacia la derecha del vértice:
\[
x = -5 + 4 = -1
\]
La ecuación de la directriz es:
\[
x = -1
\]
### Paso 5: Graficar la parábola y la directriz
Voy a graficar la parábola junto con su directriz.
Explicación paso a paso:
Aquí tienes el gráfico de la parábola con su ecuación \((y - 3)^2 = -16(x + 5)\), junto con su directriz \(x = -1\). Además, se muestran el vértice \(V(-5, 3)\) y el foco \(F(-9, 3)\).