• Una función f : R → R se dice que es periódica si existe un valor T > 0 de forma que f(x+T) =
f(x) para cada x ∈ R. Geométricamente, ésto significa que la gráfica de f consta de un trozo fundamental que se va repitiendo a lo largo de todo el eje x. Esto ocurre con las funciones trigonométricas:
por ejemplo f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) son funciones periódicas.
A continuación proporcionamos formas de fabricar nuevas funciones a partir de dos dadas.
• Si f,g : A → R son dos funciones con el mismo dominio, se definen la suma, el producto y el
cociente de f y g, como las funciones f +g, f · g : A → R y (f /g) : A− {x ∈ A : g(x) = 0} → R dadas
por:
(f +g)(x) = f(x) +g(x), (f · g)(x) = f(x)g(x),
f
g
(x) = f(x)
g(x)
,
donde la última expresión sólo tiene sentido cuando g(x) 6= 0. Se define el producto de un número
λ ∈ R por una función f : A → R como la función λ· f : A → R dada por (λ· f)(x) = λ f(x). Se puede
demostrar que el conjunto de todas las funciones definidas en A es un espacio vectorial sobre R con
la suma y el producto por números definido anteriormente.
Ejemplo: Supongamos que tenemos las funciones f,g : R → R dadas por f(x) = sen(x) y g(x) =
x. La suma de f y g es la función f + g : R → R dada por (f + g)(x) = sen(x) + x. El producto de
f y g es la función f · g : R → R dada por (f · g)(x) = x sen(x). El cociente de f y g es la función
f /g : R − {0} → R dada por (f /g)(x) = (sen(x))/x (obsérvese que hemos tenido que suprimir del
dominio los puntos que anulan al denominador para que la expresión resultante tenga sentido). Por
último 9 · f es la función 9 · f : R → R definida por (9 · f)(x) = 9 sen(x).
• Si f y g son dos funciones, definimos la composición de g y f , que representaremos por g ◦ f ,
como la función (g◦ f)(x) = g(f(x)). La forma en la que trabaja la nueva función g◦ f es la siguiente:
para cada x, primero hace trabajar f sobre x, de modo que calculamos f(x); a continuación trabaja la
función g pero no sobre x, sino sobre el valor f(x) previamente calculado.
Ejemplo: La composición de funciones no es una operación conmutativa en general. Esto lo
podemos ver en el siguiente ejemplo: sean f(x) = x
2 +1 y g(x) = x−3. Se tiene:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x
2 +1) = (x
2 +1)−3 = x
2 −2,
mientras que:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x−3) = (x−3)
2 +1 = x
2 +9−6x+1 = x
2 −6x+10.
