Respuesta: La dilatación térmica de un material, como una platina de acero, se relaciona con su cambio de tamaño debido a las variaciones de temperatura. Para resolver este problema, utilizaremos la fórmula de dilatación lineal:
[ \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T ]
Donde:
(\Delta L) es el cambio en la longitud.
(\alpha) es el coeficiente de dilatación lineal del acero.
(L_0) es la longitud inicial.
(\Delta T) es la variación de temperatura.
Dado que estamos buscando la temperatura a la cual el diámetro será igual a 8 508 cm, consideraremos el cambio en el radio ((r)) en lugar de la longitud ((L)):
[ \Delta r = \alpha \cdot r_0 \cdot \Delta T ]
Aquí, (r_0) es el radio inicial y (\Delta r) es el cambio en el radio.
Sabemos que el diámetro ((d)) está relacionado con el radio ((r)) de la siguiente manera:
[ d = 2r ]
Por lo tanto, podemos expresar el cambio en el diámetro como:
[ \Delta d = 2 \cdot \Delta r ]
Dado que queremos encontrar la temperatura a la cual el diámetro será igual a 8 508 cm, tenemos:
[ 8 508 , \text{cm} = 2 \cdot (8 500 + \Delta r) ]
Resolviendo para (\Delta r):
[ \Delta r = \frac{8 508 - 8 500}{2} = 4 , \text{cm} ]
Ahora, podemos usar la fórmula de dilatación lineal para encontrar la temperatura:
[ \Delta r = \alpha \cdot r_0 \cdot \Delta T ]
Sustituyendo los valores conocidos:
[ 4 = \alpha \cdot 8 500 \cdot \Delta T ]
Despejando (\Delta T):
[ \Delta T = \frac{4}{\alpha \cdot 8 500} ]
Para el acero, el coeficiente de dilatación lineal ((\alpha)) es aproximadamente (12 \times 10^{-6} , \text{°C}^{-1}) 1. Sustituyendo este valor:
[ \Delta T = \frac{4}{(12 \times 10^{-6}) \cdot 8 500} ]
Calculando:
[ \Delta T \approx 10.5 , \text{°C} ]
Por lo tanto, la temperatura a la cual el diámetro de la platina de acero será igual a 8 508 cm es aproximadamente 10.5°C más alta que la temperatura inicial de 10°C.
Explicación:
