Respuesta :
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Voy a resolverlo paso a paso:
1. Dado que \(X\) es el punto medio de \(PR\), entonces \(PX = XR\).
2. Usando la relación entre las longitudes \(PQ = 3QR\), podemos expresar \(PR\) en términos de \(QR\):
\[PR = PQ + QR = 3QR + QR = 4QR\]
3. Entonces, si llamamos a la longitud de \(QR\) como \(x\), la longitud de \(PR\) será \(4x\).
4. Ahora, usemos la fórmula dada \((PS)(RS) + \frac{1}{4} PR^2 = 169\). Sustituimos \(PR\) con \(4x\):
\[(PS)(RS) + \frac{1}{4} (4x)^2 = 169\]
\[(PS)(RS) + 4x^2 = 169\]
5. Sabemos que \(PS + RS = PR\), entonces \(PS = PR - RS\). Sustituyamos esta relación:
\[(PR - RS)(RS) + 4x^2 = 169\]
\[4x \cdot RS - RS^2 + 4x^2 = 169\]
\[RS(4x - RS) + 4x^2 = 169\]
6. Usando \(PR = 4x\), reemplazamos \(4x\) en la ecuación:
\[RS(4x - RS) + 4x^2 = 169\]
\[4x^2 - RS^2 + 4x \cdot RS = 169\]
7. Notamos que \(XS = XR\). Entonces, \(XS = 2x\).
8. Ahora, tenemos una ecuación cuadrática en términos de \(RS\):
\[4x^2 - RS^2 + 4x \cdot RS = 169\]
9. Podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general.
10. Una vez que hayamos encontrado el valor de \(RS\), podemos calcular \(XS = 2x\).
11. Comparando el resultado obtenido con las opciones dadas, seleccionamos la respuesta correcta