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Para igualar las sumas, primero necesitamos encontrar un número que sumado a \(3\frac{2}{5}\) sea igual a la suma de \(6\frac{1}{3}\) y \(2\frac{1}{9}\).
Primero, sumemos \(6\frac{1}{3}\) y \(2\frac{1}{9}\):
\[6\frac{1}{3} + 2\frac{1}{9} = 6 + \frac{1}{3} + 2 + \frac{1}{9}\]
\[= 8 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\]
Ahora, para sumar fracciones, necesitamos un denominador común, que en este caso sería 9. Entonces, convertimos \(8\) en una fracción con denominador 9:
\[8 = \frac{8 \times 9}{9} = \frac{72}{9}\]
Entonces, la suma es:
\[8 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{72}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{72 + 3 + 1}{9} = \frac{76}{9}\]
Ahora, resta \(3\frac{2}{5}\) de \(6\frac{1}{3}\) y \(2\frac{1}{9}\) para encontrar el número que necesitas añadir:
\[6\frac{1}{3} + 2\frac{1}{9} - 3\frac{2}{5} = \frac{76}{9} - \frac{17}{5}\]
Para restar fracciones, necesitamos un denominador común, que sería 45 en este caso:
\[\frac{76}{9} - \frac{17}{5} = \frac{76 \times 5}{9 \times 5} - \frac{17 \times 9}{5 \times 9}\]
\[= \frac{380}{45} - \frac{153}{45}\]
\[= \frac{380 - 153}{45}\]
\[= \frac{227}{45}\]
Por lo tanto, el número que necesitas añadir a \(3\frac{2}{5}\) para igualar la suma de \(6\frac{1}{3}\) y \(2\frac{1}{9}\) es \( \frac{227}{45} \).