Respuesta :
El alcance horizontal de la piedra es de 32 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida desde el pie del edificio al caer al suelo
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal: [tex]\bold { V_{x} }[/tex] , debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex] , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende
Hallamos el tiempo de vuelo de la piedra
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
Consideramos la altura H desde donde se lanzó horizontalmente el proyectil: [tex]\bold{H = 80 \ m }[/tex]
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:
[tex]\bold { V_{0y} = 0 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2 \ H =g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\cdot 80 \ m }{ 10\ \frac{m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 160 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{16 \ s^{2} } } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 4 \ segundos } }[/tex]
El tiempo de vuelo de la piedra es de 4 segundos
Determinamos el alcance máximo de la piedra, es decir la trayectoria horizontal recorrida
Dado que en el eje X se tiene un MRU durante toda la trayectoria: para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil al llegar al suelo -desde el pie del edificio donde se lanzó horizontalmente desde lo alto de la azotea-, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo. Donde la velocidad inicial horizontal es de: [tex]\bold { V_{0x} = 8 \ \frac{m}{s} }[/tex] y el tiempo de vuelo es de: [tex]\bold { t_{v} =4 \ s }[/tex] -hallado previamente-
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \cdot t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \cdot t }}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =8 \ \frac{m}{\not s} \cdot 4 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d = 32 \ metros}}[/tex]
El alcance horizontal de la piedra es de 32 metros
Aunque el enunciado no lo pida
Calculamos la velocidad con la cual la piedra llega al suelo
Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 4 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =8 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\cdot t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \cdot 4 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-40\ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad para el instante de tiempo en que el proyectil llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(8 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-40 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{64\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +1600\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1664\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| \approx 40.79 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| \approx 40.8 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad con la cual llega la piedra al suelo es de 40.8 metros por segundo (m/s)
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento
Como se puede apreciar se describe una semiparábola
