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Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, podemos establecer dos ecuaciones utilizando la información proporcionada.
Sean:
- \( x \) la velocidad en kilómetros por hora (km/h) del chico más lento.
- \( x + \frac{1}{2} \) la velocidad en kilómetros por hora (km/h) del chico más rápido.
La distancia total es de 35 km.
1. Para el chico más lento:
- Tiempo = Distancia / Velocidad
- \( t_1 = \frac{35}{x} \) horas
2. Para el chico más rápido:
- Tiempo = Distancia / Velocidad
- \( t_2 = \frac{35}{x + \frac{1}{2}} \) horas
Según el enunciado, el chico más rápido tarda 1 hora 40 minutos menos que el chico más lento. Convertimos 1 hora 40 minutos a horas: \( \frac{1}{\frac{5}{3}} \) horas.
Entonces, la ecuación resultante es:
\[ t_2 = t_1 - \frac{5}{3} \]
Sustituyendo las expresiones anteriores para \( t_1 \) y \( t_2 \):
\[ \frac{35}{x + \frac{1}{2}} = \frac{35}{x} - \frac{5}{3} \]
Ahora, resolvamos esta ecuación para encontrar el valor de \( x \), que representa la velocidad del chico más lento. Luego, podemos calcular la velocidad del chico más rápido y el tiempo que toma cada uno hacer la caminata.
\[ \frac{35}{x + \frac{1}{2}} = \frac{35}{x} - \frac{5}{3} \]
Multiplicamos ambos lados por \( 3x(x + \frac{1}{2}) \) para deshacernos de los denominadores:
\[ 105x = 105(x + \frac{1}{2}) - \frac{5}{3}(3x)(x + \frac{1}{2}) \]
\[ 105x = 105x + \frac{105}{2} - 5x(x + \frac{1}{2}) \]
Expandimos el producto en el lado derecho:
\[ 105x = 105x + \frac{105}{2} - 5x^2 - \frac{5}{2}x \]
Simplificamos y reordenamos términos:
\[ 0 = -5x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{105}{2} \]
Multiplicamos ambos lados por \( -\frac{2}{5} \) para simplificar los coeficientes:
\[ 0 = x^2 + x - 21 \]
Ahora podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Donde:
- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = -21 \)
Sustituimos estos valores en la fórmula:
\[ x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 84}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} \]
Como la velocidad no puede ser negativa, tomamos el valor positivo:
\[ x = \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} \]
Ahora que hemos encontrado el valor de \( x \), podemos calcular la velocidad del chico más rápido:
\[ \text{Velocidad del chico más rápido} = x + \frac{1}{2} \]
\[ \text{Velocidad del chico más rápido} = \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} + \frac{1}{2} \]
\[ \text{Velocidad del chico más rápido} = \frac{-1 + \sqrt{85} + 1}{2} \]
\[ \text{Velocidad del chico más rápido} = \frac{\sqrt{85}}{2} \]
Ahora, podemos calcular el tiempo que toma cada chico en hacer la caminata:
\[ \text{Tiempo del chico más lento} = \frac{35}{x} \]
\[ \text{Tiempo del chico más lento} = \frac{35}{\frac{-1 + \sqrt{85}}{2}} \]
\[ \text{Tiempo del chico más lento} = \frac{35 \times 2}{-1 + \sqrt{85}} \]
\[ \text{Tiempo del chico más lento} = \frac{70}{-1 + \sqrt{85}} \]
\[ \text{Tiempo del chico más rápido} = \frac{35}{\frac{\sqrt{85}}{2}} \]
\[ \text{Tiempo del chico más rápido} = \frac{35 \times 2}{\sqrt{85}} \]
\[ \text{Tiempo del chico más rápido} = \frac{70}{\sqrt{85}} \]
Estas son las expresiones para el tiempo que toma cada chico en hacer la caminata. Puedes simplificar más estas expresiones si lo deseas.