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Dado que la hipérbola tiene su centro en el origen y el eje transverso en el eje de las ordenadas, su ecuación tiene la forma:
[tex] \frac{x2}{a2} - \frac{y2}{b2} = 1[/tex]
La distancia entre las directrices es \(2c = 2\), y la excentricidad es \(e = 2\), donde \(c\) es la distancia del centro a las directrices. La relación entre la excentricidad y los semiejes es \(e = \frac{c}{a}\).
Como \(e = 2\) y \(2c = 2\), tenemos que \(c = 1\). Dado que el centro está en el origen, el foco está en \((0,1)\) y \((0,-1)\).
También sabemos que \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), y dado que \(c = 1\), tenemos:
\[1 = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[1 = a^2 + b^2\]
Dado que el eje transverso está en el eje de las ordenadas, \(a = b\). Sustituyendo, obtenemos:
[tex]1 = 2 {a}^{2} [/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es:
[tex] \frac{x2}{ \frac{1}{2} } - \frac{y {}^{2} }{ \frac{1}{2} } = 1[/tex]