Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -paralela a L1- y que pasa por el punto M(5,3) expresada en la forma general está dada por:
[tex]\huge\boxed {\bold {x-3y+4= 0 }}[/tex]
Sea la recta L1:
[tex]\large\boxed {\bold { 4x-12y+5=0 }}[/tex]
Se solicita hallar una recta L2 -paralela a la dada- y que pase por el punto M(5,3)
Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { 4x-12y+5=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -12y=-4x-5 }}[/tex]
[tex]\textsf{Multiplicamos la ecuaci\'on por -1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 12y=4x+5 }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { 12y=4x+5 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not12y}{\not12} =\frac{4}{12}x +\frac{5}{12} }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{3} x +\frac{5}{12} }}[/tex]
Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = \frac{1}{3} }}[/tex]
La pendiente de la recta dada L1 es igual a 1/3
Determinamos la pendiente de una recta paralela
Denotaremos a la pendiente de la recta paralela [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente
Luego:
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = m_{1} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { m_{2} = \frac{1}{3} }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta paralela a la dada - L1- debe tener la misma pendiente, luego la pendiente de cualquier recta paralela a L1 será m = 1/3
Hallamos la recta L2 -paralela a la recta L1- que pasa por el punto o par ordenado M(5,3)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta paralela solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto M (5,3) tomaremos x1 = 5 e y1 = 3
Dado que la recta debe ser paralela a la dada su pendiente m será igual a 1/3
[tex]\bold{m_{2} = \frac{1}{3} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{1}{3} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { M (5,3) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (3) = \frac{1}{3} \cdot (x- (5)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-3 =\frac{1}{3} \cdot (x-5) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -paralela a la dada L1- que pasa por el punto M(5,3) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y-3 =\frac{1}{3} \cdot (x-5) }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y-3 =\frac{1}{3} x -\frac{5}{3} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x -\frac{5}{3} +3 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x -\frac{5}{3} +3 \cdot \frac{3}{3} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x -\frac{5}{3} + \frac{9}{3} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x + \frac{4}{3} }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 paralela a la dada -L1- y que pasa por el punto M(5,3) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x + \frac{4}{3} }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} -y=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{3} x -y + \frac{4}{3} =0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 3
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{3} x\cdot 3 -y\cdot 3 +\frac{4}{3} \cdot 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{\not3} x\cdot\not 3 -y\cdot 3 +\frac{4}{\not3} \cdot \not 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x-3y +4= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas paralelas
Se agrega gráfico como archivo adjunto
