Para encontrar el argumento de la función \( e^z \cdot e^{-i/z} \), donde \( z = x + iy \) es una variable compleja, primero expresaremos \( e^z \) y \( e^{-i/z} \) en forma exponencial y luego los multiplicaremos.
Primero, recordemos que \( e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} \). Por lo tanto, \( e^z = e^x \cdot e^{iy} \).
A continuación, usemos la fórmula de Euler para \( e^{iy} \):
\[ e^{iy} = \cos(y) + i \sin(y) \]
Así, \( e^z = e^x \cdot (\cos(y) + i \sin(y)) \).
Ahora, para \( e^{-i/z} \), tenemos:
\[ e^{-i/z} = e^{-i/(x+iy)} = e^{-i/x} \cdot e^{y/x} \]
Por lo tanto, el producto \( e^z \cdot e^{-i/z} \) es:
\[ e^z \cdot e^{-i/z} = e^x \cdot (\cos(y) + i \sin(y)) \cdot e^{-i/x} \cdot e^{y/x} \]
Tomando el argumento de este producto complejo, obtenemos:
\[ \arg(e^z \cdot e^{-i/z}) = \arg(e^x \cdot (\cos(y) + i \sin(y)) \cdot e^{-i/x} \cdot e^{y/x}) \]
Dado que el argumento de un producto es la suma de los argumentos de los factores, podemos calcular el argumento de cada factor por separado y luego sumarlos.
El argumento del factor \( e^x \) es simplemente \( x \), y el argumento del factor \( e^{-i/x} \cdot e^{y/x} \) es \( y/x \).
Por lo tanto, el argumento de la función \( e^z \cdot e^{-i/z} \) es \( x + \arg(\cos(y) + i \sin(y)) + y/x \), donde \( \arg(\cos(y) + i \sin(y)) \) es el argumento del número complejo \( \cos(y) + i \sin(y) \), que es simplemente \( y \).
Dado que el argumento de \( \cos(y) + i \sin(y) \) es \( y \), el argumento de la función original es:
\[ \arg(e^z \cdot e^{-i/z}) = x + y + y/x \]
Este es el argumento de la función \( e^z \cdot e^{-i/z} \) en función de \( x \) e \( y \).
Si necesitas más detalles o tienes alguna otra pregunta sobre variable compleja, no dudes en preguntar. Estoy aquí para ayudarte.
