Explicación paso a paso:
Voy a resolver tus problemas matemáticos uno por uno. Empezaré con algunos cálculos simples para explicar los conceptos y las fórmulas requeridas. Luego, abordaré cada problema paso a paso.
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### Problema 06:
Necesito más información para este problema. No es claro qué significa "Si A8-12" y "г-450." ¿Podrías proporcionar más contexto o especificar qué es lo que se busca?
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### Problema 07:
Para encontrar el valor de \( a \), sabemos que el área de un sector circular es:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta, \]
donde \( r \) es el radio y \( \theta \) es el ángulo central en radianes.
Dado que duplicamos el radio, el nuevo radio es 2r. La nueva área será un tercio del original. Vamos a comparar los dos sectores para obtener la relación entre los ángulos centrales.
1. Área original:
\[ A_1 = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta_1. \]
Dado que \( A_1 = 45 \) cm² y \( \theta_1 = 72^\circ = \frac{72}{180} \cdot \pi = \frac{2\pi}{5} \):
\[ 45 = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \frac{2\pi}{5}. \]
De esta relación, encontramos que \( r^2 = \frac{45 \times 2 \times 5}{2\pi} = \frac{450}{2\pi} \).
2. Área nueva:
Con radio \( 2r \), el nuevo área \( A_2 = \frac{1}{2} \cdot (2r)^2 \cdot \theta_2 = \frac{1}{2} \cdot 4r^2 \cdot \theta_2 \).
Queremos que \( A_2 \) sea un tercio de \( A_1 \):
\[ \frac{1}{3} \cdot A_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{450}{2\pi} \cdot \theta_2. \]
Dado que \( \frac{1}{3} \cdot 45 = 15 \),
\[ 15 = 2 \cdot \frac{450}{2\pi} \cdot \theta_2, \]
Resolviendo para \( \theta_2 \),
\[ \theta_2 = \frac{15 \pi}{450} = \frac{1}{30} \pi. \]
Esto es igual a \( \pi / 6 \), pero no hay opción correcta. Parece que hay un error en el planteamiento o el valor del resultado esperado.
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### Problema 08:
Para calcular la longitud del arco, usamos la fórmula:
\[ L = r \times \theta. \]
Con radio \( r = 8 \) m y ángulo central de 12°, debemos convertir 12° a radianes:
\[ \theta = \frac{12}{180} \times \pi = \frac{12 \pi}{180} = \frac{\pi}{15}. \]
La longitud del arco es entonces:
\[ L = 8 \times \frac{\pi}{15} = \frac{8 \pi}{15}. \]
Las opciones no parecen coincidir con este resultado. Esto indica que podría haber errores en el planteamiento del problema o en las opciones proporcionadas.
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### Problema 09:
El arco es parte de un círculo con un radio desconocido. El arco es de 22 cm y subtende un ángulo de 45°. Podemos usar la misma fórmula para encontrar el radio \( r \):
\[ L = r \times \theta. \]
Con ángulo \( \theta = 45° = \frac{45}{180} \times \pi = \frac{\pi}{4} \),
\[ r = \frac{22}{\frac{\pi}{4}} = \frac{88}{pi}. \]
Esto nos lleva a que el radio es de 28 cm. La respuesta sería la opción \( a = 28 \) cm.
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### Problema 10:
Si la circunferencia tiene un radio de 18 m y un ángulo central de 1/3 radianes, podemos usar la misma fórmula para encontrar el arco:
\[ L = r \times \theta. \]
Así, la longitud del arco es:
\[ L = 18 \times \frac{1}{3} = 6 \, \text{m}. \]
La opción correcta sería \( b = 6 \) m.
