Respuesta :
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Para encontrar la ecuación que describe el crecimiento de esta colonia de bacterias, podemos utilizar la fórmula general para el crecimiento exponencial:
N(t) = N_0 \times e
Donde:
- N(t) es la cantidad de bacterias en el tiempo t.
- N_0 es la cantidad inicial de bacterias en el tiempo t = 0.
- k es la tasa de crecimiento de las bacterias.
- t es el tiempo en horas.
Dado que a las 11:00 am hay 500 bacterias, podemos decir que N_0 = 500. Y a la 1:00 pm hay 800 bacterias, por lo que en ese momento t = 2 horas. Entonces, tenemos:
800 = 500 \times e^{2k}
Para encontrar k, primero dividimos ambos lados de la ecuación por 500:
\frac{800}{500} = e^{2k}
1.6 = e^{2k}
Tomando el logaritmo natural de ambos lados para despejar k:
\ln(1.6) = \ln(e^{2k})
\ln(1.6) = 2k
k = (1.6)}{2}
Ahora que tenemos el valor de k, podemos encontrar la ecuación completa de crecimiento exponencial. Una vez que tengamos la ecuación, podemos determinar cuántas bacterias habrá en el cultivo después de 5 horas. Vamos a calcularlo.
Calculando el valor de k:
k = {\ln(1.6)}{2}
k = 0.4700}{2}
k = 0.235
Por lo tanto, la ecuación que describe el crecimiento de esta colonia de bacterias es:
N(t) = 500 \times e^{0.235t}
Para determinar cuántas bacterias habrá en el cultivo después de 5 horas, sustituimos t = 5 en la ecuación:
N(5) = 500 \times e^{0.235 \times 5}
N(5) = 500 \times e^{1.175}
Calculando el valor:
N(5) = 500 \times 3.241
N(5) = 1620.5
Por lo tanto, después de 5 horas, habrá aproximadamente 1620 bacterias en el cultivo.