Para calcular el intervalo de confianza y el tamaño muestral necesitaremos usar la distribución t de Student, ya que estamos trabajando con una muestra pequeña y no conocemos la desviación estándar de la población.
Dado que la media muestral es de 18€ y la varianza muestral es de 144€, podemos calcular la desviación estándar muestral como la raíz cuadrada de la varianza, es decir, \( \sqrt{144} = 12€\).
a) Intervalo de confianza al 90% para el gasto medio mensual en telefonía móvil:
Usaremos la fórmula del intervalo de confianza:
\[ \text{Intervalo de confianza} = \text{Media muestral} \pm t \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \]
Donde \( t \) es el valor crítico de la distribución t de Student para el nivel de confianza deseado y \( n \) es el tamaño de la muestra.
Para un nivel de confianza del 90%, y un tamaño de muestra de 180, el valor crítico de la distribución t es aproximadamente 1.65 (consultando las tablas de la distribución t de Student). Entonces, el intervalo de confianza es:
\[ \text{Intervalo de confianza} = 18€ \pm 1.65 \left( \frac{12€}{\sqrt{180}} \right) \]
Calculando este intervalo:
\[ \text{Intervalo de confianza} \approx (17.294€, 18.706€) \]
b) Para reducir la amplitud del intervalo a 1€, necesitamos resolver la siguiente ecuación para \( n \):
\[ 1 = 1.65 \left( \frac{12€}{\sqrt{n}} \right) \]
Despejando \( n \):
\[ n = \left( \frac{1.65 \times 12€}{1€} \right)^2 \]
\[ n \approx 52.44 \]
Por lo tanto, necesitaríamos un tamaño muestral de al menos 53 para reducir la amplitud del intervalo a 1€.
c) Para mantener la amplitud del intervalo en 1€ con un nivel de confianza del 95%, necesitamos resolver la siguiente ecuación para \( n \):
\[ 1 = 1.96 \left( \frac{12€}{\sqrt{n}} \right) \]
Despejando \( n \):
\[ n = \left( \frac{1.96 \times 12€}{1€} \right)^2 \]
\[ n \approx 74.89 \]
Por lo tanto, necesitaríamos un tamaño muestral de al menos 75 para mantener la amplitud del intervalo en 1€ con un nivel de confianza del 95%.
