El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad pequeña quiere determinar la proporción de cuentahabientes a los cuales se les paga el interés por trimestre. Se selecciona una muestra de n = 100 cuentahabientes en las que 30 indican que se les paga por trimestre. a) Establezca un intervalo de confianza del 90% para la proporción real de cuentahabientes a quienes se les paga por trimestre. b) Con un 96% de confianza calcule el error máximo permitido en la estimación de la proporción real de cuentahabientes del inciso (a). c) Si el banco tiene 1,000 cuentahabientes, establezca un intervalo de confianza del 90% para el total de cuentahabientes a quienes se les paga por trimestre d) Si el gerente quiere tener 90% de confianza de que está en lo correcto con aproximación de 0.05 de la proporción de sus cuentahabientes a quienes se les paga por trimestre ¿qué tamaño de muestra se necesita?

Para resolver este problema, utilizaremos la distribución normal estándar y la fórmula del intervalo de confianza para la proporción. A continuación, abordaré cada parte del problema:

Parte a) Intervalo de Confianza del 90% para la Proporción Real:

1. Datos:

- Tamaño de la muestra (n) = 100

- Cuentahabientes que indican que se les paga por trimestre (x) = 30

2. Proporción muestral (p):

- p = x/n = 30/100 = 0.30

3. Error estándar (SE):

- SE = √[(p(1-p))/n] = √[(0.30*0.70)/100] = 0.046

4. Valor crítico z para un nivel de confianza del 90%:

- z = 1.645

5. Intervalo de Confianza:

- Margen de error (E) = z * SE = 1.645 * 0.046 = 0.076

- Intervalo de confianza = p ± E = 0.30 ± 0.076

- Intervalo de confianza del 90%: (0.224, 0.376)

Parte b) Error Máximo Permitido con un 96% de Confianza:

1. Valor crítico z para un nivel de confianza del 96%:

- z = 2.05

2. Error máximo permitido:

- E = z * SE = 2.05 * 0.046 = 0.094

Parte c) Intervalo de Confianza del 90% para el Total de Cuentahabientes:

1. Total de cuentahabientes en el banco (N):

- N = 1000

2. Total de cuentahabientes que se les paga por trimestre (n*p):

- n*p = 1000 * 0.30 = 300

3. Error estándar para el total (SE_total):

- SE_total = √[N * p * (1-p)] = √[1000 * 0.30 * 0.70] = 7.48

4. Valor crítico z para un nivel de confianza del 90%:

- z = 1.645

5. Intervalo de Confianza para el Total de Cuentahabientes:

- Margen de error (E_total) = z * SE_total = 1.645 * 7.48 = 12.30

- Intervalo de confianza: (300 - 12.30, 300 + 12.30) = (287.70, 312.30)

Parte d) Tamaño de Muestra Necesario con 90% de Confianza y Error de 0.05:

1. Valor crítico z para un nivel de confianza del 90%:

- z = 1.645

2. Error máximo deseado (E):

- E = 0.05

3. Tamaño de muestra necesario (n):

- n = (z/E)² * p * (1-p)

- n = (1.645/0.05)² * 0.30 * 0.70

- n ≈ 647

Por lo tanto, el tamaño de muestra necesario para tener un 90% de confianza y un error de 0.05 en la proporción de cuentahabientes que se les paga por trimestre es de aproximadamente 647 cuentahabientes.