Respuesta :
El lado c tiene una longitud de aproximadamente 11.17 centímetros
Los ángulos A y B tienen un valor de 67.71° y de 42.21° respectivamente
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Se tiene un triángulo no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de dos de sus lados a y b, y el valor de uno de sus ángulos C
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\bold{a = 11 \ cm}[/tex]
[tex]\bold{b = 8 \ cm}[/tex]
[tex]\bold{C = 70^o}[/tex]
Se pide resolver el triángulo, determinando la dimensión del lado faltante c y los valores de los ángulos A y B
Para determinar la longitud del lado faltante c vamos a aplicar el teorema del coseno
Ver gráfico adjunto
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Determinamos la longitud del lado c (AB)
Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la magnitud del lado faltante
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =( 11 \ cm)^{2} + (8 \ cm)^{2} - 2 \cdot 11 \ cm \cdot 8 \ cm \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 121 \ cm^{2} +64 \ cm^{2} - 176 \ cm^{2} \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =185 \ cm^{2} - 176 \ cm^{2} \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =185 \ cm^{2} - 176 \ cm^{2} \cdot 0.342020143326 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 185\ cm^{2} -60.195545225376 \ cm^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c^{2} =124.804454774624 \ cm^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 124.804454774624 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 124.804454774624 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c \approx 11.171591 \ cm }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 11.17 \ cm}}[/tex]
El lado faltante c (AB) tiene una longitud de aproximadamente 11.17 centímetros
Determinamos los valores de los ángulos faltantes del triángulo
Conocida la dimensión del tercer lado del triangulo:
[tex]\bold{c =11.17 \ cm}[/tex]
Para determinar los ángulos desconocidos empleamos nuevamente el teorema del coseno
Para determinar los valores de los ángulos con mayor precisión, tomaremos una mayor cantidad de decimales para el lado c hallado
Consideramos:
[tex]\bold{c =11.1715 \ cm}[/tex]
Hallamos el valor del ángulo A
Por el teorema del coseno podemos expresar:
[tex]\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex]
Luego
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \cdot b \cdot c } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(8 \ cm )^{2} + (11.1715 \ cm )^{2} - (11 \ cm )^{2} }{2 \cdot 8 \ cm \cdot 11.1715 \ cm } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{64 \ cm^{2} + 124.80241225 \ cm^{2} - 121 \ cm^{2} }{178.744 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 188.80241225 \ cm^{2} - 121 \ cm^{2} }{ 178.744 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 67.80241225 \not cm^{2} }{ 178.744 \not cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{67.80241225 }{178.744 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= 0.3793269270576914 }}[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {A=arccos\left( 0.3793269270576914 \right ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {A = 67.708^o }}[/tex]
[tex]\textsf{Aproximando}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {A = 67.71^o }}[/tex]
El valor del ángulo A es de 67.71°
Hallamos el valor del ángulo B
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {180^o= 67.71^o +B + 70^o }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {B = 180^o -67.71^o -70 ^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {B =42.29^o }}[/tex]
El valor del ángulo B es de 42.29°
Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
