Respuesta :
El valor del ángulo de elevación al sol es de 20.49°
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
La altura o estatura de la persona junto con el suelo -donde esta se encuentra- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura o estatura de la persona, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por la persona hasta cierto punto en el suelo donde esta se extiende. Donde ambas magnitudes se conocen. Siendo la primera el cateto opuesto al ángulo buscado y la segunda el cateto adyacente al ángulo requerido del triángulo- Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la línea visual desde el punto donde culmina la sombra hasta la cabeza o la coronilla de la persona, la cual es vista con un ángulo de elevación al sol α -la cual es nuestra incógnita-
Donde se pide determinar:
El valor del ángulo de elevación a sol con el cual se avistaría la cabeza o la coronilla de la persona según los datos proporcionados
Esto se puede observar en el gráfico adjunto
Conocemos la altura o estatura de la persona y la longitud de la sombra proyectada por dicha persona
- Altura o estatura de la persona = 1.70 metros
- Longitud de la sombra proyectada por la persona = 4.55 metros
- Debemos determinar el ángulo de elevación al sol con el cual se avistaría la cabeza o la coronilla de dicha persona
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos la altura o la estatura de la persona -la cual es el cateto opuesto al ángulo buscado del triángulo- y conocemos la longitud de la sombra proyectada por dicha persona, -siendo este el cateto adyacente al ángulo requerido: determinaremos el valor del ángulo α de elevación al sol solicitado mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Hallamos el valor del ángulo de elevación al sol con el cual se avistaría la cabeza o la coronilla de la persona
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto\ adyacente } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{estatura \ persona }{ sombra \ persona } }}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{1.70 \not m }{ 4.55 \not m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{1.70 }{ 4.55 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) =0.\overline{373626} }}[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente para hallar el \'angulo}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\alpha =arctan\left(0.\overline{373626} \right ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\alpha =20.48699^o }}[/tex]
[tex]\textsf{Aproximando}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\alpha =20.49^o }}[/tex]
Por tanto el valor del ángulo de elevación al sol es de 20.49°
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio planteado, donde se comprueba el resultado obtenido
